广义二项式系数英文解释翻译、广义二项式系数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generalized binomial coefficient

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

二项式系数的英语翻译：

【计】 binomial coefficient; binomial factor
【经】 binomial coefficient

专业解析

广义二项式系数（Generalized Binomial Coefficient）是经典二项式系数的扩展形式，用于描述非整数或负整数情况下的组合关系。其定义为： $$ binom{alpha}{k} = frac{alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-k+1)}{k!} $$ 其中$alpha$可为任意实数或复数，$k$为非负整数。这一推广由Isaac Newton在二项式定理研究中首次提出，突破了传统组合数对正整数取值的限制。

在应用层面，广义二项式系数是泰勒级数展开的关键工具，特别是在处理$(1+x)^alpha$型函数的展开时，其系数即为此类广义组合数。例如当$alpha=-1$时，展开式对应几何级数$frac{1}{1+x}$的系数序列。剑桥大学数学系教材指出，该概念在概率论中负二项分布的概率质量函数推导中具有重要应用价值。

与普通二项式系数不同，广义形式允许参数$alpha$取非整数值，这使得其在分数阶微积分、特殊函数理论等现代数学分支中展现出独特优势。美国数学学会的研究显示，其在分形几何的维度计算模型中也发挥了关键作用。

网络扩展解释

广义二项式系数是经典组合数概念的扩展，允许参数为任意实数或复数。其定义和性质如下：

1.定义

广义二项式系数记作(dbinom{r}{k})，其中(r)为任意实数或复数，(k)为非负整数。其公式为： $$ dbinom{r}{k} = frac{r(r-1)(r-2)cdots(r-k+1)}{k!} $$ 当(k=0)时，约定(dbinom{r}{0} = 1)。

2.与经典组合数的关系

当(r)为非负整数且(r geq k)时，广义系数退化为经典组合数(dbinom{r}{k} = frac{r!}{k!(r-k)!})。
当(r)为负整数或分数时，广义系数可能产生非整数值或交替符号，例如： [ dbinom{-n}{k} = (-1)^k dbinom{n+k-1}{k} quad（如(dbinom{-1}{2} = 3)） ]

3.与二项式定理的关联

广义二项式定理是牛顿提出的重要公式： $$ (1+x)^r = sum_{k=0}^infty dbinom{r}{k} x^k $$ 其中(|x| < 1)（当(r)为非负整数时，级数退化为有限和）。

4.应用场景

级数展开：用于泰勒展开，如(sqrt{1+x} = 1 + frac{1}{2}x - frac{1}{8}x + cdots)。
概率论：负二项分布的概率公式中会用到广义系数。
组合分析：处理参数为分数或负数的组合问题。

5.收敛性

当(r)为实数且非负整数时，级数仅有限项非零；当(r)为其他实数或复数时，级数在(|x|<1)内绝对收敛，边界需单独判断。

通过广义二项式系数，数学家将离散的组合工具扩展到了连续和复数领域，成为分析学和物理学中重要的数学语言。