廣義二項式系數英文解釋翻譯、廣義二項式系數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized binomial coefficient

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

二項式系數的英語翻譯：

【計】 binomial coefficient; binomial factor
【經】 binomial coefficient

專業解析

廣義二項式系數（Generalized Binomial Coefficient）是經典二項式系數的擴展形式，用于描述非整數或負整數情況下的組合關系。其定義為： $$ binom{alpha}{k} = frac{alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-k+1)}{k!} $$ 其中$alpha$可為任意實數或複數，$k$為非負整數。這一推廣由Isaac Newton在二項式定理研究中首次提出，突破了傳統組合數對正整數取值的限制。

在應用層面，廣義二項式系數是泰勒級數展開的關鍵工具，特别是在處理$(1+x)^alpha$型函數的展開時，其系數即為此類廣義組合數。例如當$alpha=-1$時，展開式對應幾何級數$frac{1}{1+x}$的系數序列。劍橋大學數學系教材指出，該概念在概率論中負二項分布的概率質量函數推導中具有重要應用價值。

與普通二項式系數不同，廣義形式允許參數$alpha$取非整數值，這使得其在分數階微積分、特殊函數理論等現代數學分支中展現出獨特優勢。美國數學學會的研究顯示，其在分形幾何的維度計算模型中也發揮了關鍵作用。

網絡擴展解釋

廣義二項式系數是經典組合數概念的擴展，允許參數為任意實數或複數。其定義和性質如下：

1.定義

廣義二項式系數記作(dbinom{r}{k})，其中(r)為任意實數或複數，(k)為非負整數。其公式為： $$ dbinom{r}{k} = frac{r(r-1)(r-2)cdots(r-k+1)}{k!} $$ 當(k=0)時，約定(dbinom{r}{0} = 1)。

2.與經典組合數的關系

當(r)為非負整數且(r geq k)時，廣義系數退化為經典組合數(dbinom{r}{k} = frac{r!}{k!(r-k)!})。
當(r)為負整數或分數時，廣義系數可能産生非整數值或交替符號，例如： [ dbinom{-n}{k} = (-1)^k dbinom{n+k-1}{k} quad（如(dbinom{-1}{2} = 3)） ]

3.與二項式定理的關聯

廣義二項式定理是牛頓提出的重要公式： $$ (1+x)^r = sum_{k=0}^infty dbinom{r}{k} x^k $$ 其中(|x| < 1)（當(r)為非負整數時，級數退化為有限和）。

4.應用場景

級數展開：用于泰勒展開，如(sqrt{1+x} = 1 + frac{1}{2}x - frac{1}{8}x + cdots)。
概率論：負二項分布的概率公式中會用到廣義系數。
組合分析：處理參數為分數或負數的組合問題。

5.收斂性

當(r)為實數且非負整數時，級數僅有限項非零；當(r)為其他實數或複數時，級數在(|x|<1)内絕對收斂，邊界需單獨判斷。

通過廣義二項式系數，數學家将離散的組合工具擴展到了連續和複數領域，成為分析學和物理學中重要的數學語言。