
【计】 denumerable set
approve; but; can; may; need; yet
a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number
collect; collection; gather; volume
【电】 set
在数学集合论中,可数集(Countable Set)指能与自然数集$mathbb{N}$建立一一映射关系的集合,分为有限可数集与无限可数集两类。该术语的英文对应词为"countable set",其定义最早由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪集合论研究中明确提出。
从基数角度看,可数集的势(cardinality)为$aleph_0$(阿列夫零),例如:
不可数集(uncountable set)如实数集$mathbb{R}$则无法建立此类双射,其基数通过康托尔对角线论证法证明为$2^{aleph_0}$。这一区别在测度论与概率论中有重要应用,例如在勒贝格测度下可数集的测度恒为零。
当前标准数学教材普遍采用以下判定准则:若集合元素可按特定规则排列为序列${a_1,a_2,a_3,...}$,则该集合为可数集。该性质在计算机科学中直接影响可计算性理论的建模基础。
可数集是集合论中的一个重要概念,具体解释如下:
定义 可数集是指能与自然数集$mathbb{N}$(即${1,2,3,ldots}$)建立一一对应关系的集合。若集合元素数量有限(如${a,b,c}$),称为有限可数集;若元素无限但可被逐个列出(如自然数本身),则称为无限可数集或可数无限集。
关键性质
典型例子
应用意义 可数集的概念是分析集合“大小”的基础工具,例如:
若需进一步了解可数集的严格数学定义或相关定理证明,可参考《实分析》《集合论》教材。
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