开集英文解释翻译、开集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 open set

unclose
【化】 carat
【医】 carat

collect; collection; gather; volume
【电】 set

在数学拓扑学中，开集（open set）是构成拓扑空间的基础概念之一。汉英词典中，“开集”对应英文术语为"open set"，其核心定义为：不包含任何边界点的集合。具体可从以下三方面阐释：

公理化定义
在一般拓扑空间中，开集需满足以下性质：
- 空集和全集均为开集；
- 任意多个开集的并集仍为开集；
- 有限个开集的交集仍为开集。
  这一性质来源于法国数学家亨利·庞加莱对连续性的研究（参见《数学评论》期刊分析。
实例与几何意义
在欧几里得空间（如实数轴$mathbb{R}$）中，开集表现为不含端点的区间，例如$(a,b)={x mid a<x<b}$。平面中的开圆盘${(x,y) mid x+y<r}$则是二维开集的典型代表（参考美国数学学会术语表。
应用与扩展
开集为连续性、收敛性等分析学概念提供了严格框架。在微分几何中，开集构成流形的局部坐标系载体；在泛函分析中，开集性质被用于定义赋范空间的弱拓扑（引自理海大学拓扑学公开课讲义。

参考来源

开集是拓扑学中的核心概念，其定义在不同数学背景下有所差异，以下从度量和拓扑空间两个角度进行解释：

度量空间中的开集
在度量空间$X$中，若子集$A$的每个点都存在一个以该点为中心的邻域（例如开球），且该邻域完全包含于$A$内部，则称$A$是开集。例如，实数轴上的开区间$(a,b)$是典型开集，因为任意点$x$的邻域$(x-epsilon, x+epsilon)$均属于该区间。
拓扑空间中的抽象定义
在一般拓扑空间中，开集是拓扑结构的基础元素，直接由拓扑公理定义。拓扑本身是空间所有开集构成的集合族，满足：任意并、有限交和包含全集/空集的性质。此时开集无需依赖“距离”概念，更强调集合的开放性结构。

开集通过描述“邻近性”和“边界”性质，为连续性、收敛性等分析概念提供基础。在度量空间中，它直观表现为“无边界点”；在抽象拓扑中，则作为构建空间结构的砖块。