開集英文解釋翻譯、開集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 open set

unclose
【化】 carat
【醫】 carat

collect; collection; gather; volume
【電】 set

在數學拓撲學中，開集（open set）是構成拓撲空間的基礎概念之一。漢英詞典中，“開集”對應英文術語為"open set"，其核心定義為：不包含任何邊界點的集合。具體可從以下三方面闡釋：

公理化定義
在一般拓撲空間中，開集需滿足以下性質：
- 空集和全集均為開集；
- 任意多個開集的并集仍為開集；
- 有限個開集的交集仍為開集。
  這一性質來源于法國數學家亨利·龐加萊對連續性的研究（參見《數學評論》期刊分析。
實例與幾何意義
在歐幾裡得空間（如實數軸$mathbb{R}$）中，開集表現為不含端點的區間，例如$(a,b)={x mid a<x<b}$。平面中的開圓盤${(x,y) mid x+y<r}$則是二維開集的典型代表（參考美國數學學會術語表。
應用與擴展
開集為連續性、收斂性等分析學概念提供了嚴格框架。在微分幾何中，開集構成流形的局部坐标系載體；在泛函分析中，開集性質被用于定義賦範空間的弱拓撲（引自理海大學拓撲學公開課講義。

參考來源

開集是拓撲學中的核心概念，其定義在不同數學背景下有所差異，以下從度量和拓撲空間兩個角度進行解釋：

度量空間中的開集
在度量空間$X$中，若子集$A$的每個點都存在一個以該點為中心的鄰域（例如開球），且該鄰域完全包含于$A$内部，則稱$A$是開集。例如，實數軸上的開區間$(a,b)$是典型開集，因為任意點$x$的鄰域$(x-epsilon, x+epsilon)$均屬于該區間。
拓撲空間中的抽象定義
在一般拓撲空間中，開集是拓撲結構的基礎元素，直接由拓撲公理定義。拓撲本身是空間所有開集構成的集合族，滿足：任意并、有限交和包含全集/空集的性質。此時開集無需依賴“距離”概念，更強調集合的開放性結構。

開集通過描述“鄰近性”和“邊界”性質，為連續性、收斂性等分析概念提供基礎。在度量空間中，它直觀表現為“無邊界點”；在抽象拓撲中，則作為構建空間結構的磚塊。