對偶函數英文解釋翻譯、對偶函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual function; dual-function

分詞翻譯：

對的英語翻譯：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【計】 P
【化】 dyad
【醫】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【經】 vs

偶函數的英語翻譯：

【計】 even function

專業解析

對偶函數（dual function）是數學優化和泛函分析中的核心概念，其英文對應術語包含"dual function"和"conjugate function"。在凸優化領域，它通過拉格朗日對偶性構建原始問題的下界估計，将約束優化問題轉化為無約束形式。該函數的定義為： $$ g(lambda) = inf_{x in D} mathcal{L}(x,lambda) $$ 其中$mathcal{L}$是拉格朗日函數，$lambda$為對偶變量。

從信號處理視角，對偶函數在傅裡葉變換中特指頻率域與時間域相互映射的數學工具，滿足帕塞瓦爾定理的能量守恒特性。在格論中，它描述滿足交換律的互補運算對，如布爾代數中的與/或邏輯算子。

權威數學文獻顯示，對偶函數與對偶空間理論密切相關。根據《泛函分析》（Walter Rudin著）的闡述，在賦範線性空間中，每個向量空間都存在唯一的對偶空間，其中的元素即為原空間的線性連續泛函。這一性質在量子力學中的希爾伯特空間對偶結構中得到典型應用。

工程領域的實踐案例表明，對偶函數在通信系統設計中具有關鍵作用。IEEE期刊研究證實，5G網絡中的MIMO系統設計大量運用對偶函數理論進行信道容量優化。控制論中的卡爾曼濾波器設計也依賴狀态空間與對偶空間之間的映射關系。

網絡擴展解釋

對偶函數是優化理論中的一個核心概念，主要用于将原優化問題轉化為對偶問題，從而簡化求解或分析問題的性質。

定義

對偶函數（Dual Function）是通過原問題的拉格朗日函數構造的。對于原優化問題： $$ min_{x} f(x) quad text{s.t.} quad g_i(x) leq 0,hj(x) = 0(i=1,dots,m; j=1,dots,p) $$ 其拉格朗日函數為： $$ L(x, lambda, u) = f(x) + sum{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^p u_j h_j(x) $$ 其中$lambda_i geq 0$和$ uj$是拉格朗日乘子。對偶函數定義為： $$ g(lambda, u) = inf{x} L(x, lambda, u) $$ 即對偶函數是拉格朗日函數關于原變量$x$的最小值。

性質

凹性：對偶函數是凹函數（無論原問題是否為凸），因為它是仿射函數的逐點下确界。
下界性：對偶函數的值總是給出原問題最優值的下界，即： $$ g(lambda, u) leq p^ quad (forall lambda geq 0) $$ 其中$p^$是原問題的最優解。

對偶問題

最大化對偶函數的問題稱為對偶問題： $$ max_{lambda geq 0, u} g(lambda, u) $$ 其最優解$d^$滿足$d^ leq p^$（弱對偶性）。當$d^ = p^*$時稱為強對偶性，此時可通過解對偶問題得到原問題解。

應用場景

凸優化：強對偶性在凸問題中通常成立（需滿足Slater條件）。
支持向量機（SVM）：通過拉格朗日對偶将高維空間計算轉化為核函數優化。
經濟學與博弈論：影子價格、資源分配等問題中的對偶解釋。

對偶間隙

當原問題與對偶問題的最優值不相等時（即$d^ < p^$），其差值稱為對偶間隙。非零間隙表明原問題可能存在非凸性或約束不滿足。

如果需要進一步了解具體領域的對偶函數應用（如線性規劃對偶），可提供更多背景信息以便補充細節。