矩形有限元英文解釋翻譯、矩形有限元的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 rectangular finite element

分詞翻譯：

矩形的英語翻譯：

rectangle
【化】 rectangle

有限元的英語翻譯：

【計】 finite element

專業解析

矩形有限元（Rectangular Finite Element）是有限元方法（Finite Element Method, FEM）中一種常用的單元類型，特别適用于具有規則幾何形狀（如矩形或長方體）的結構分析。其核心思想是将複雜的連續求解域離散化為一系列簡單幾何形狀（單元）的集合，并在每個單元上采用相對簡單的插值函數（形函數）來近似真實解。以下是其詳細解釋：

一、數學定義與單元特性

幾何描述：在二維問題中，矩形單元由四個角點節點定義，通常采用局部坐标系 ((xi, eta))（取值範圍為 ([-1,1])），通過等參變換映射到全局坐标系 ((x, y))。其形函數 (N_i) 為雙線性函數： $$ N_i(xi, eta) = frac{1}{4}(1 pm xi)(1 pm eta) quad (i=1,2,3,4) $$ 其中符號由節點位置決定。
位移插值：單元内任意點的位移 ((u, v)) 由節點位移 (mathbf{u}^e = [u_1, v_1, u_2, v2, dots]^T) 插值得到： $$ u(xi, eta) = sum{i=1}^{4} N_i ui, quad v(xi, eta) = sum{i=1}^{4} N_i v_i $$ 這種插值滿足單元邊界位移連續性要求。
剛度矩陣計算：基于虛功原理或最小勢能原理，單元剛度矩陣 (mathbf{K}^e) 可表示為： $$ mathbf{K}^e = int{-1}^{1} int{-1}^{1} mathbf{B}^T mathbf{D} mathbf{B} |mathbf{J}| , dxi , deta $$ 其中 (mathbf{B}) 為應變-位移矩陣，(mathbf{D}) 為材料本構矩陣，(|mathbf{J}|) 為雅可比行列式。

二、工程應用與優勢

規則結構分析：適用于闆、殼及箱體類結構的靜力學、熱傳導等問題，如建築樓闆、壓力容器壁等。
計算效率：相比三角形單元，矩形單元在相同網格密度下精度更高，且數值積分（如2×2高斯積分）更易實現。
局限性：對不規則邊界適應性較差，常需與三角形單元混合使用或通過網格細化處理幾何突變區域。

三、中英文術語對照

中文術語	英文術語
矩形有限元	Rectangular Finite Element
形函數	Shape Function
等參變換	Isoparametric Mapping
剛度矩陣	Stiffness Matrix
雅可比行列式	Jacobian Determinant

參考文獻

Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1996. (Ch. 5: Formulation of Elements)
Hughes, T.J.R. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover, 2000.
Zienkiewicz, O.C. & Taylor, R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Elsevier, 2005.
王勖成. 《有限單元法》. 清華大學出版社, 2003. (第4章：單元構造)

網絡擴展解釋

以下是關于“矩形有限元”的詳細解釋：

1.基本定義

矩形有限元是有限元方法中使用的一種二維四邊形單元，其形狀為矩形（四邊均為直線且夾角為直角）。它是将連續物理區域離散化為規則網格單元的一種形式，常用于結構力學、熱傳導等領域的數值模拟。

2.核心特點

幾何規則性：矩形單元的邊長和角度固定，節點通常布置在頂點處，便于數學建模和積分計算。
計算效率高：相比于三角形或其他不規則單元，矩形單元在規則區域内能更快收斂，且形函數（描述單元内物理量變化的函數）更簡單。
適用性：適合模拟邊界規整的幾何體（如平闆、箱體等），但對複雜曲線邊界的適配性較差，需通過加密網格或改用其他單元彌補。

3.與其他單元類型的對比

三角形單元：更靈活，適合複雜形狀，但計算量較大；
四邊形非矩形單元：可通過等參變換處理曲線邊界，但數學處理更複雜；
一維線元/三維六面體元：分别用于一維問題和三維問題。

4.典型應用場景

結構分析：如矩形梁、闆的應力應變計算；
熱力學模拟：規則區域内的溫度場分布；
電磁場計算：矩形截面的電磁器件分析。

5.數學表達示例

在矩形單元中，形函數通常基于雙線性插值。例如，對于邊長為$2a$和$2b$的矩形單元，局部坐标$(ξ,η)$（範圍$[-1,1]$）對應的形函數為： $$ N_1 = frac{1}{4}(1-ξ)(1-η), quad N_2 = frac{1}{4}(1+ξ)(1-η), N_3 = frac{1}{4}(1+ξ)(1+η), quad N_4 = frac{1}{4}(1-ξ)(1+η) $$ 通過這些函數可将單元内的位移或溫度場表示為節點值的加權組合。

矩形有限元通過規則劃分簡化計算，是工程中處理标準幾何問題的高效工具，但在複雜邊界場景中需結合其他單元類型。其核心優勢在于平衡了計算精度與效率。