矩陣函數英文解釋翻譯、矩陣函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix function

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

矩陣函數（Matrix Function）是線性代數與泛函分析中的重要概念，指将矩陣映射為另一個矩陣的函數運算。其核心定義為：對于複數域上的方陣$A$，若存在解析函數$f(z)$，則矩陣函數$f(A)$可通過幂級數展開、Jordan标準形或譜映射定理等方式定義。

1. 數學定義與英文對照

矩陣函數的中英文術語對照為“矩陣函數（Matrix Function）”，其嚴格數學定義可表述為：

$$f(A) = sum_{k=0}^{infty} c_k A^k$$

其中$A$為方陣，$c_k$為函數$f(z)$的泰勒級數系數。常見類型包括矩陣指數函數（Matrix Exponential）、矩陣對數（Matrix Logarithm）和矩陣三角函數（如$sin A$）。

2. 應用領域

矩陣函數在科學與工程中具有廣泛應用：

控制系統理論：狀态方程求解中矩陣指數用于描述線性時不變系統的演化；
量子力學：時間演化算子通過矩陣指數表達；
網絡分析：圖的連通性問題可通過矩陣函數量化。

3. 計算與性質

矩陣函數的計算依賴于以下性質：

可交換性：若$AB=BA$，則$e^{A+B}=e^A e^B$；
譜映射定理：若$A$的特征值為$lambda_i$，則$f(A)$的特征值為$f(lambda_i)$。
數值計算中常采用Schur分解結合泰勒展開或Padé逼近法。

引用來源

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (1991). Matrix Analysis. Cambridge University Press.
Higham, N. J. (2008). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM.
Wikipedia contributors. (2025). "Matrix function." Wikipedia.
Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations. Johns Hopkins University Press.

（注：以上引用來源為真實出版物及公共知識資源，鍊接因平台限制未展示，讀者可通過權威學術數據庫查詢詳細内容。）

網絡擴展解釋

矩陣函數是将标量函數的概念推廣到矩陣上的運算，用于對矩陣進行類似于普通函數的操作（如指數、對數、三角函數等）。以下是其核心要點：

1.定義與核心思想

矩陣函數 ( f(A) ) 通過以下方式定義：

泰勒級數展開：若标量函數 ( f(x) ) 可展開為幂級數 ( f(x) = sum_{k=0}^infty ak x^k )，則矩陣函數定義為 ( f(A) = sum{k=0}^infty a_k A^k )，需保證級數收斂。
譜分解法：若矩陣 ( A ) 可對角化為 ( A = PDP^{-1} )，則 ( f(A) = P cdot f(D) cdot P^{-1} )，其中 ( f(D) ) 是對角矩陣，每個元素為 ( f(lambda_i) )（( lambda_i ) 是 ( A ) 的特征值）。
Jordan标準形：對不可對角化矩陣，通過 Jordan 塊分解計算 ( f(A) )。

2.常見矩陣函數示例

矩陣指數函數：( e^A = sum_{k=0}^infty frac{A^k}{k!} )，用于解微分方程 ( frac{dx}{dt} = Ax )。
矩陣對數：若 ( e^B = A )，則 ( B = ln(A) )，需 ( A ) 可逆且無負特征值。
矩陣平方根：若 ( B = A )，則 ( B = A^{1/2} )，要求 ( A ) 半正定。

3.關鍵性質

非交換性：矩陣乘法不滿足交換律，因此 ( e^{A+B} eq e^A e^B )（除非 ( AB = BA )）。
譜映射定理：( f(A) ) 的特征值為 ( f(lambda_i) )，特征向量與原矩陣相同。
導數規則：( frac{d}{dt} e^{tA} = A e^{tA} )，在動力系統分析中廣泛應用。

4.應用領域

微分方程：矩陣指數解線性方程組 ( frac{dmathbf{x}}{dt} = Amathbf{x} )。
量子力學：時間演化算子 ( e^{-iHt} )（( H ) 為哈密頓量矩陣）。
控制理論：系統狀态轉移矩陣的計算。
計算機圖形學：三維旋轉的矩陣表示（如羅德裡格斯公式）。

5.計算方法

直接展開：適用于稀疏矩陣或低階矩陣。
Schur分解：将矩陣轉化為上三角形式，簡化計算。
數值方法：如 Padé 近似、Krylov子空間法，用于大規模矩陣。

矩陣函數将經典函數論擴展到矩陣空間，是連接線性代數與複雜系統分析的重要工具。實際應用中需注意矩陣的特殊性質（如不可交換性），并選擇合適的計算方法。