四元數英文解釋翻譯、四元數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

quaternion

分詞翻譯：

四的英語翻譯：

four
【醫】 quadri-; Quat; quattuor; tetra-

元的英語翻譯：

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【經】 dollar; yuan

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

四元數（Quaternion）是數學中用于描述三維空間旋轉的超複數系統，由愛爾蘭數學家威廉·羅萬·哈密頓于1843年提出。其英文術語"quaternion"源自拉丁語"quaternio"，意為"四個一組"，對應四元數的四個構成分量。

核心定義與公式

四元數一般表示為：

q = a + bmathbf{i} + cmathbf{j} + dmathbf{k}

其中：

實部$a$對應空間位置
虛部$bmathbf{i}+cmathbf{j}+dmathbf{k}$構成三維矢量
虛數單位滿足$mathbf{i} = mathbf{j} = mathbf{k} = mathbf{i}mathbf{j}mathbf{k} = -1$

關鍵特性

非交換乘法：$mathbf{i}mathbf{j} = mathbf{k}$但$mathbf{j}mathbf{i} = -mathbf{k}$，這種特性使其特别適合描述三維旋轉
歸一化條件：單位四元數滿足$a + b + c + d = 1$
旋轉表示法：通過$mathbf{v}' = qmathbf{v}q^{-1}$可實現向量繞任意軸旋轉

工程應用領域

航天器姿态控制（NASA在阿波羅計劃中首次工程化應用）
計算機圖形學（Unity、Unreal引擎均采用四元數實現三維變換）
慣性導航系統（避免萬向節鎖問題）
機器人運動學（優于歐拉角的插值特性）

權威參考文獻

哈密頓原始論文《On Quaternions》（1844年發表于倫敦皇家學會會刊）
NASA技術報告《Spacecraft Attitude Control Using Quaternions》（編號NASA-CR-145865）
計算機圖形學經典教材《Real-Time Rendering》（A K Peters/CRC Press出版）

網絡擴展解釋

四元數是數學中一種擴展複數概念的超複數系統，由愛爾蘭數學家威廉·盧雲·哈密頓于1843年提出。它廣泛應用于計算機圖形學、機器人學、航空航天等領域的三維空間旋轉表示。以下是詳細解釋：

1.基本定義

四元數由一個實部和三個虛部構成，表示為：
$$ q = w + xi + yj + zk $$
其中：

( w ) 是實部；
( x, y, z ) 是虛部；
( i, j, k ) 是虛數單位，滿足以下關系：
$$ i = j = k = ijk = -1 $$
$$ ij = k, quad jk = i, quad ki = j $$
$$ ji = -k, quad kj = -i, quad ik = -j $$
關鍵特性：四元數乘法不滿足交換律（例如 ( ij eq ji )）。

2.幾何意義

四元數可表示三維空間中的旋轉，其優勢在于：

避免萬向節鎖（歐拉角的缺陷）；
計算高效（相比旋轉矩陣需存儲9個數，四元數僅需4個）；
插值平滑（如球面線性插值SLERP）。

單位四元數（模長為1）可描述旋轉操作：
若四元數 ( q = cosfrac{theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)sinfrac{theta}{2} )，則表示繞單位軸 ( mathbf{u} ) 旋轉角度 ( theta )。

3.運算規則

加法/減法：對應分量相加減。
乘法：按分配律展開并應用虛數單位規則，例如：
$$ (w_1 + x_1i + y_1j + z_1k)(w_2 + x_2i + y_2j + z_2k) $$
結果仍為四元數，但需計算交叉項。
共轭：( q^* = w - xi - yj - zk )。
模長：( |q| = sqrt{w + x + y + z} )。

4.應用領域

計算機圖形學：Unity、Unreal等引擎用四元數控制3D模型旋轉。
機器人學：機械臂關節運動的姿态描述。
航空航天：衛星、飛行器的姿态控制。
虛拟現實：頭部跟蹤和空間定位。

5.與旋轉矩陣的轉換

四元數可轉換為3×3旋轉矩陣，公式為：
$$ R = begin{bmatrix} 1 - 2y - 2z & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy 2xy + 2wz & 1 - 2x - 2z & 2yz - 2wx 2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x - 2y end{bmatrix} $$

四元數通過簡潔的形式和高效的運算，成為三維旋轉的核心工具。其核心價值在于避免歐拉角的局限性，同時優化計算性能，是現代工程與計算機科學的基石之一。