linear combination是什麼意思，linear combination的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

線性組合（linear combination）是線性代數中的核心概念，指通過一組向量與對應标量系數的乘積之和生成新向量的操作。具體而言，給定向量集合${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$和标量${a_1, a_2, ..., a_n}$，其線性組合可表示為： $$ a_1mathbf{v}_1 + a_2mathbf{v}_2 + cdots + a_nmathbf{v}_n $$

定義與數學表達

在向量空間中，線性組合的構造依賴于向量的加法和标量乘法運算。例如在二維空間中，若基向量為$mathbf{e}_1=(1,0)$和$mathbf{e}_2=(0,1)$，則任意向量$(x,y)$均可表示為$xmathbf{e}_1 + ymathbf{e}_2$的線性組合。這一性質是坐标系建立和空間變換的理論基礎。

幾何意義

幾何上，線性組合描述了向量空間中的點或方向通過基向量的“伸縮疊加”實現覆蓋整個空間的過程。例如三維空間中的平面方程$ax+by+cz=d$，其解集本質上是滿足特定線性組合條件的向量集合。

應用領域

1. 工程系統建模：電路分析中，節點電壓可通過基爾霍夫定律表示為電流源的線性組合（參考：IEEE Xplore數據庫）。
2. 計算機圖形學：三維模型頂點坐标由局部坐标系到世界坐标系的變換依賴線性組合計算（參考：David Lay《線性代數及其應用》）。
3. 機器學習：支持向量機的決策邊界構建、神經網絡層輸出的計算均基于線性組合原理（參考：MIT線性代數公開課講義）。

該概念由德國數學家赫爾曼·格拉斯曼在1844年首次系統闡述，後成為現代數學和工程科學的通用語言基礎。

網絡擴展資料

線性組合（linear combination）是線性代數中的核心概念，指通過一組向量與标量系數的乘積之和生成新向量的過程。以下是詳細解釋：

定義

給定向量集合v₁, v₂, ..., vₙ 和标量系數a₁, a₂, ..., aₙ，其線性組合表示為：
$$ a₁mathbf{v₁} + a₂mathbf{v₂} + cdots + aₙmathbf{vₙ} $$
其中，标量可以是實數或複數，向量可以是幾何向量、矩陣或函數空間中的元素。

示例

假設二維空間中有向量v₁ = (1, 0) 和v₂ = (0, 1)，标量取a₁=2、a₂=3，則線性組合為：
$$ 2(1,0) + 3(0,1) = (2,0) + (0,3) = (2,3) $$
這表明通過調整系數，線性組合能生成平面内的任意點。

重要性

1. 向量空間的基礎：向量空間的元素均可表示為基向量的線性組合。例如，三維空間的基向量i, j, k 可通過組合生成所有三維向量。
2. 線性方程組的解：解集可表示為特解與齊次解的組合。
3. 應用領域：計算機圖形學（坐标變換）、機器學習（特征提取）、物理學（力的合成）等均依賴此概念。

擴展概念

• 線性相關：若某向量可表示為其他向量的線性組合，則這組向量線性相關。
• 生成空間：所有可能的線性組合構成一個子空間，稱為原向量集合的張成空間（span）。

通過線性組合，我們能系統化地分析向量之間的關系，并為複雜問題提供數學工具。

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