Lie algebra是什麼意思，Lie algebra的意思翻譯、用法、同義詞、例句
lie algebra英标
美:/'laɪ ˈældʒɪbrə/
常用詞典
[數] 李代數，李氏代數
例句
Lie algebras of derivations of n-differential operator algebra.
元微分算子代數的導子李代數結構。
We study the structure and properties of a necklace Lie algebra.
本文探讨項鍊李代數的結構及性質。
The main work of this paper is to study the RDS-type Lie Algebra.
本論文的主要工作就是對rds型李代數進行研究。
In this paper, we extend the concept of quantum Lie algebra to two-parameter case.
本文把量子李代數的概念推廣到了雙參數的情形。
Using the method of nonlinear Lie algebra, the tensors of ladder operators are obtained.
用非線性李代數方法 ，對關于角動量的階梯算符進行了研究。
專業解析
李代數（Lie algebra）是數學中描述連續對稱性結構的重要工具，尤其與李群的研究密切相關。其核心概念可概括如下：
一、基本定義
李代數是一個定義在域（如實數或複數）上的向量空間 (mathfrak{g})，配備一個稱為李括號（Lie bracket） 的雙線性運算 ([cdot, cdot]: mathfrak{g} times mathfrak{g} to mathfrak{g})，滿足以下公理：
- 反對稱性：([x, y] = -[y, x])
- 雅可比恒等式：
$$
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
$$
李括號的非交換性（([x, y]
eq 0)）反映了運算的“扭曲”，是區别于普通向量空間的關鍵。
二、曆史背景與核心思想
由挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie） 在19世紀提出，旨在通過線性化研究李群（連續對稱性的群，如旋轉群SO(3)）。李代數可視為李群在單位元處的切空間，其李括號編碼了群乘法結構的無窮小生成元對易關系。
三、典型例子
- (mathfrak{sl}(n))：迹為零的(ntimes n)矩陣，李括號為矩陣交換子 ([A,B] = AB - BA)。
- 三維空間向量叉積：(mathbb{R}) 中向量叉積 (mathbf{a} times mathbf{b}) 構成李代數。
- 量子力學中的角動量算符對易關系：([J_x, J_y] = ihbar J_z) 等。
四、物理與幾何意義
- 粒子物理：規範場論（如标準模型）中，楊-米爾斯理論的規範場強 (F_{mu
u}) 由李代數值聯絡定義，群結構決定相互作用類型（如SU(3)對應強相互作用）。
- 廣義相對論：時空的微分同胚群對應李代數，描述時空變換的無窮小生成元。
- 控制系統：機器人運動規劃中，李括號刻畫了非完整約束系統的可控性。
五、關鍵性質
- 幂零性與可解性：通過李括號的疊代定義，用于分類李代數結構。
- 半單李代數分類（嘉當-基靈理論）：複半單李代數完全由根系分類（如A_n對應(mathfrak{sl}(n+1))），是現代粒子物理群論表示的基礎。
參考文獻
- Humphreys, J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer (1972).
- Fulton, W., & Harris, J. Representation Theory: A First Course. Springer (1991).
- Serre, J. P. Complex Semisimple Lie Algebras. Springer (2001).
網絡擴展資料
Lie algebra（李代數）是數學和理論物理中的一個核心概念，主要用于研究連續對稱性和變換群的結構。以下是詳細解釋：
1.基本定義
Lie algebra 是一個向量空間（通常記作 (mathfrak{g})），配備一個稱為Lie括號（或交換子）的雙線性運算 ([ cdot, cdot ])，滿足以下性質：
- 反對稱性：([X, Y] = -[Y, X])；
- 雙線性：對任意标量 (a, b) 和元素 (X, Y, Z)，有 ([aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z])；
- 雅可比恒等式：([X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0)。
2.與Lie群的關系
- Lie代數是Lie群的“無窮小版本”。每個Lie群（如旋轉群、平移群）對應一個Lie代數，描述群在單位元附近的局部結構。
- 通過指數映射（Exponential Map），可将Lie代數中的元素映射到Lie群中，例如：三維旋轉群 (SO(3)) 的Lie代數是反對稱矩陣組成的空間 (mathfrak{so}(3))。
3.物理中的應用
- 經典力學：守恒量（如角動量）的對稱性對應Lie代數結構。
- 量子力學：算符的對易關系（如 ([x, p] = ihbar)）本質上是Lie代數。
- 規範場論：Yang-Mills理論中的規範群由Lie代數描述。
4.常見例子
- (mathfrak{sl}(2))：迹為零的2×2矩陣，Lie括號為矩陣對易子。
- 海森堡代數：描述量子力學中的位置和動量算符。
- 旋轉代數：(mathfrak{so}(3)) 對應三維旋轉，滿足 ([J_i, Jj] = epsilon{ijk} J_k)。
5.分類與重要性
- 複單Lie代數已被完全分類（如 (A_n, B_n, C_n, D_n) 等），這一成果稱為Cartan-Killing分類。
- 其研究為微分幾何、粒子物理（如标準模型）甚至機器人學（剛體運動）提供了數學基礎。
總結來說，Lie代數是連接連續對稱性與代數結構的橋梁，通過其運算規則揭示群變換的深層性質，并在多個學科中發揮關鍵作用。
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