Lie algebra是什么意思，Lie algebra的意思翻译、用法、同义词、例句
lie algebra英标
美:/'laɪ ˈældʒɪbrə/
常用词典
[数] 李代数，李氏代数
例句
Lie algebras of derivations of n-differential operator algebra.
元微分算子代数的导子李代数结构。
We study the structure and properties of a necklace Lie algebra.
本文探讨项链李代数的结构及性质。
The main work of this paper is to study the RDS-type Lie Algebra.
本论文的主要工作就是对rds型李代数进行研究。
In this paper, we extend the concept of quantum Lie algebra to two-parameter case.
本文把量子李代数的概念推广到了双参数的情形。
Using the method of nonlinear Lie algebra, the tensors of ladder operators are obtained.
用非线性李代数方法 ，对关于角动量的阶梯算符进行了研究。
专业解析
李代数（Lie algebra）是数学中描述连续对称性结构的重要工具，尤其与李群的研究密切相关。其核心概念可概括如下：
一、基本定义
李代数是一个定义在域（如实数或复数）上的向量空间 (mathfrak{g})，配备一个称为李括号（Lie bracket） 的双线性运算 ([cdot, cdot]: mathfrak{g} times mathfrak{g} to mathfrak{g})，满足以下公理：
- 反对称性：([x, y] = -[y, x])
- 雅可比恒等式：
$$
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
$$
李括号的非交换性（([x, y]
eq 0)）反映了运算的“扭曲”，是区别于普通向量空间的关键。
二、历史背景与核心思想
由挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie） 在19世纪提出，旨在通过线性化研究李群（连续对称性的群，如旋转群SO(3)）。李代数可视为李群在单位元处的切空间，其李括号编码了群乘法结构的无穷小生成元对易关系。
三、典型例子
- (mathfrak{sl}(n))：迹为零的(ntimes n)矩阵，李括号为矩阵交换子 ([A,B] = AB - BA)。
- 三维空间向量叉积：(mathbb{R}) 中向量叉积 (mathbf{a} times mathbf{b}) 构成李代数。
- 量子力学中的角动量算符对易关系：([J_x, J_y] = ihbar J_z) 等。
四、物理与几何意义
- 粒子物理：规范场论（如标准模型）中，杨-米尔斯理论的规范场强 (F_{mu
u}) 由李代数值联络定义，群结构决定相互作用类型（如SU(3)对应强相互作用）。
- 广义相对论：时空的微分同胚群对应李代数，描述时空变换的无穷小生成元。
- 控制系统：机器人运动规划中，李括号刻画了非完整约束系统的可控性。
五、关键性质
- 幂零性与可解性：通过李括号的迭代定义，用于分类李代数结构。
- 半单李代数分类（嘉当-基灵理论）：复半单李代数完全由根系分类（如A_n对应(mathfrak{sl}(n+1))），是现代粒子物理群论表示的基础。
参考文献
- Humphreys, J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer (1972).
- Fulton, W., & Harris, J. Representation Theory: A First Course. Springer (1991).
- Serre, J. P. Complex Semisimple Lie Algebras. Springer (2001).
网络扩展资料
Lie algebra（李代数）是数学和理论物理中的一个核心概念，主要用于研究连续对称性和变换群的结构。以下是详细解释：
1.基本定义
Lie algebra 是一个向量空间（通常记作 (mathfrak{g})），配备一个称为Lie括号（或交换子）的双线性运算 ([ cdot, cdot ])，满足以下性质：
- 反对称性：([X, Y] = -[Y, X])；
- 双线性：对任意标量 (a, b) 和元素 (X, Y, Z)，有 ([aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z])；
- 雅可比恒等式：([X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0)。
2.与Lie群的关系
- Lie代数是Lie群的“无穷小版本”。每个Lie群（如旋转群、平移群）对应一个Lie代数，描述群在单位元附近的局部结构。
- 通过指数映射（Exponential Map），可将Lie代数中的元素映射到Lie群中，例如：三维旋转群 (SO(3)) 的Lie代数是反对称矩阵组成的空间 (mathfrak{so}(3))。
3.物理中的应用
- 经典力学：守恒量（如角动量）的对称性对应Lie代数结构。
- 量子力学：算符的对易关系（如 ([x, p] = ihbar)）本质上是Lie代数。
- 规范场论：Yang-Mills理论中的规范群由Lie代数描述。
4.常见例子
- (mathfrak{sl}(2))：迹为零的2×2矩阵，Lie括号为矩阵对易子。
- 海森堡代数：描述量子力学中的位置和动量算符。
- 旋转代数：(mathfrak{so}(3)) 对应三维旋转，满足 ([J_i, Jj] = epsilon{ijk} J_k)。
5.分类与重要性
- 复单Lie代数已被完全分类（如 (A_n, B_n, C_n, D_n) 等），这一成果称为Cartan-Killing分类。
- 其研究为微分几何、粒子物理（如标准模型）甚至机器人学（刚体运动）提供了数学基础。
总结来说，Lie代数是连接连续对称性与代数结构的桥梁，通过其运算规则揭示群变换的深层性质，并在多个学科中发挥关键作用。
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