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n. 古德曼函數，古得曼行列式

專業解析

Gudermannian函數（Gudermannian function），通常記作gd(x) 或gud(x)，是一個在數學中連接雙曲函數（Hyperbolic functions）和三角函數（Trigonometric functions）的特殊函數。它由德國數學家克裡斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann）在19世紀引入，因此得名。

1. 數學定義

Gudermannian函數最常用的定義基于雙曲正切函數（tanh）或指數函數： $$ text{gd}(x) = int_0^x frac{1}{cosh t} , dt = int_0^x sech t , dt $$ 其中 $sech t$ 是雙曲正割函數。這個積分有顯式表達式： $$ text{gd}(x) = arctan(sinh x) = arcsin(tanh x) = 2 arctan(e^x) - frac{pi}{2} $$ 這些表達式在實數域上是等價的，清晰地展示了它将雙曲函數（$sinh x$, $tanh x$）映射到三角函數（$arctan$, $arcsin$）的角度值上。

2. 核心性質

• 定義域與值域： gd(x) 在整個實數軸 $(-infty, infty)$ 上定義，其值域為開區間 $(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$。當 $x$ 趨近于正無窮時，gd(x) 趨近于 $frac{pi}{2}$；當 $x$ 趨近于負無窮時，gd(x) 趨近于 $-frac{pi}{2}$。
• 導數： Gudermannian函數的導數具有簡潔的形式： $$ frac{d}{dx} text{gd}(x) = sech x $$ 這表明其變化率等于雙曲正割函數。
• 反函數： Gudermannian函數的反函數稱為反Gudermannian函數（Inverse Gudermannian function），記作 $text{gd}^{-1}(y)$ 或 $text{arcgd}(y)$。其表達式為： $$ text{gd}^{-1}(y) = int_0^y frac{1}{cos t} , dt = int_0^y sec t , dt = artanh(sin y) = arsinh(tan y) = ln|sec y + tan y| $$ 反函數将三角函數的角度映射回雙曲函數的變量。
• 積分： 其積分形式是其定義本身，在計算某些涉及雙曲函數的積分時非常有用。

3. 應用場景

• 積分計算： Gudermannian函數及其導數關系常被用來簡化或求解某些包含雙曲函數（特别是 $sech x$）的積分。
• 連接雙曲幾何與球面幾何： 在微分幾何中，Gudermannian函數建立了雙曲平面（具有恒定負曲率）與球面（具有恒定正曲率）上某些度量或坐标變換之間的聯繫。
• 地圖投影： 在制圖學中，Gudermannian函數被用于構建某些類型的地圖投影，例如墨卡托投影（Mercator projection）。墨卡托投影将地球球面上的經線和緯線映射為平面上的正交直線，其中緯度 $phi$ 與投影中的垂直坐标 $y$ 的關系正是通過反Gudermannian函數實現的： $$ y = text{gd}^{-1}(phi) = ln|sec phi + tan phi| $$ 這使得該投影具有保角（保持角度不變）的特性。

參考資料來源：

1. MathWorld (Wolfram Research): "Gudermannian" - 提供詳細的數學定義、性質、公式和部分應用背景。 (鍊接：mathworld.wolfram.com/Gudermannian.html)
2. Wikipedia: "Gudermannian function" - 包含曆史背景、多種定義形式、性質推導、反函數以及幾何應用（如墨卡托投影）的讨論。 (鍊接：en.wikipedia.org/wiki/Gudermannian_function)
3. DLMF (Digital Library of Mathematical Functions, NIST): 作為權威的數學函數參考庫，在相關章節（如雙曲函數）會提及Gudermannian函數及其在特殊函數理論中的地位和應用。 (鍊接：dlmf.nist.gov)

網絡擴展資料

Gudermannian（古德曼函數，記作 ( text{gd}(x) ) 或 ( text{gd},x )）是數學中連接雙曲函數與三角函數的一種特殊函數，由德國數學家Christoph Gudermann 在19世紀提出。它在微分幾何、地圖投影（如墨卡托投影）和積分計算中有重要應用。以下是詳細解釋：

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1. 定義

Gudermannian函數的常見定義方式包括：

• 積分形式：
  $$text{gd}(x) = int_0^x text{sech},t , dt$$
  其中 ( text{sech},t = frac{2}{e^t + e^{-t}} ) 是雙曲正割函數。

• 反函數形式：
  若 ( y = text{gd}(x) )，則
  $$x = ln|sec y + tan y|.$$
  這表明 ( text{gd}(x) ) 是雙曲函數與三角函數之間的橋梁。

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2. 表達式與恒等式

• 三角函數與雙曲函數的關系：
  $$sinh x = tan(text{gd},x), quad cosh x = sec(text{gd},x)$$

• 反函數表達式：
  $$text{gd}^{-1}(y) = ln(sec y + tan y) = lntanleft(frac{pi}{4} + frac{y}{2}right).$$

• 與其他函數的關系：
  $$text{gd}(x) = 2arctan(e^x) - frac{pi}{2} = arcsin(tanh x).$$

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3. 幾何意義

在墨卡托投影 中，Gudermannian函數用于将地球的經緯度坐标映射到平面坐标系。具體來說，緯度 ( phi ) 與投影中的縱坐标 ( y ) 滿足：
$$y = text{gd}^{-1}(phi).$$

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4. 導數與微分方程

• 導數：
  $$frac{d}{dx} text{gd}(x) = text{sech},x.$$
  這表明Gudermannian函數的增長率與雙曲正割函數一緻。

• 微分方程：
  $$frac{dy}{dx} = text{sech},x quad Rightarrow quad y = text{gd}(x) + C.$$

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5. 圖形特征

• 對稱性：( text{gd}(-x) = -text{gd}(x) )（奇函數）。
• 漸近行為：當 ( x to +infty ) 時，( text{gd}(x) to frac{pi}{2} )；當 ( x to -infty ) 時，( text{gd}(x) to -frac{pi}{2} )。

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應用場景

• 積分計算：簡化涉及雙曲函數和三角函數的積分。
• 導航系統：墨卡托投影的數學基礎。
• 微分方程：解決某些物理或幾何問題中的微分方程。

如需進一步數學推導或應用實例，建議參考微積分或微分幾何教材中關于特殊函數的内容。

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