輸入單詞

常用詞典

n. [數] 結合性

例句

The theorem that alternativity can replace associativity is true.

交替性可以代替關聯性的定理是正确的。

The comma operator has left-to-right associativity.

逗號運算符具有從左向右的關聯性。

This property of composition is called associativity.

複合的這個性質叫做可結合性。

This can override both the order of precedence and the left associativity.

這樣可以同時覆寫優先順序和左順序關聯性。

Associativity specifies how to group operators at the same precedence level.

結合性規定了具有相同優先級的運算符如何進行分組。

專業解析

在數學和計算機科學中，結合性（Associativity）描述的是二元運算的一種基本性質。它指的是在包含多個相同運算符的表達式中，隻要運算數的順序不變，運算的先後分組方式不會影響最終結果。

核心含義：

• 對于一個定義在集合 S 上的二元運算 *（例如加法 + 或乘法 ×），如果該運算滿足結合性，那麼對于集合 S 中的任意三個元素 a, b, c，以下等式恒成立：

  (a * b) * c = a * (b * c)

• 這個等式表明，無論你是先将 a 和 b 進行運算，然後将結果與 c 運算；還是先将 b 和 c 進行運算，然後将 a 與結果運算，最終得到的結果是相同的。
• 滿足結合性的運算允許我們省略表達式中的括號而不引起歧義。例如，對于加法，我們直接寫 a + b + c，而無需指定是 (a + b) + c 還是 a + (b + c)，因為結果是一樣的。

示例：

1. 加法（+）是結合的：

   • (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
   • 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
   • 結果相同，所以 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)。

2. 乘法（×）是結合的：

   • (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
   • 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
   • 結果相同，所以 (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)。

3. 字符串連接（在許多編程語言中）是結合的：

   • ("Hello" + " ") + "World" = "Hello " + "World" = "Hello World"
   • "Hello" + (" " + "World") = "Hello" + " World" = "Hello World"
   • 結果相同。

反例：

1. 減法（-）不是結合的：

   • (10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3
   • 10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7
   • 3 ≠ 7，所以 (10 - 5) - 2 ≠ 10 - (5 - 2)。

2. 除法（÷）不是結合的：

   • (12 ÷ 6) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
   • 12 ÷ (6 ÷ 2) = 12 ÷ 3 = 4
   • 1 ≠ 4，所以 (12 ÷ 6) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (6 ÷ 2)。

與交換律的區别：

• 結合性關注的是運算分組順序（括號的位置）是否影響結果。
• 交換律關注的是運算數的左右順序是否影響結果。例如，加法滿足交換律：a + b = b + a，但結合性不涉及交換運算數的位置。一個運算可以滿足結合律但不滿足交換律（如矩陣乘法），也可以滿足交換律但不滿足結合律（這種情況較少見），或者兩者都滿足（如加法、乘法），或者兩者都不滿足（如減法）。

重要性：

• 簡化表達式： 結合性允許我們安全地省略括號，寫出更簡潔的表達式（如 a + b + c + d）。
• 算法優化： 在計算機科學中，知道一個運算是結合的，可以幫助設計更高效的并行算法或優化計算順序（例如，在歸約操作中）。
• 代數結構基礎： 結合性是定義許多重要代數結構（如群、半群、幺半群、環、域）的關鍵公理之一。

參考來源：

1. Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.). McGraw-Hill Education. (Chapter 2: Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, Sums, and Matrices - Section 2.6: Matrices) 該教材在集合、關系和代數結構章節詳細定義了二元運算的性質，包括結合律。
2. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). The MIT Press. (Chapter 30: Polynomials and the FFT - Section 30.1: Representing Polynomials) 算法導論在讨論并行算法基礎（如歸約操作）時會強調結合性的重要性。
3. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. (Chapter 1: Introduction to Groups - Section 1.1: Basic Axioms and Examples) 抽象代數教材在群、環等代數結構的定義中，結合律是核心公理。

網絡擴展資料

"Associativity"（結合性）是一個數學和計算機科學中的核心概念，主要用于描述運算或操作的分組方式對結果的影響。以下是詳細解釋：

---

1. 數學中的結合性

指運算中操作數分組方式不影響最終結果的性質。若運算滿足結合律，則： $$ (a ast b) ast c = a ast (b ast c) $$

• 滿足結合律的運算：加法、乘法（如 $(2+3)+4=2+(3+4)$）。
• 不滿足結合律的運算：減法、除法（如 $(5-3)-1 eq 5-(3-1)$）。

---

2. 計算機科學中的結合性

決定運算符在表達式中的求值順序（當優先級相同時）：

• 左結合性：從左到右分組（如 a - b - c 等價于 (a - b) - c）。
• 右結合性：從右到左分組（如 a = b = c 等價于 a = (b = c)）。

---

3. 詞源與構成

• 詞根 "associate"（拉丁語 associare，意為“連接”），後綴 "-ity" 表示性質。
• 字面含義：運算符號“連接”操作數的方式。

---

4. 實際應用

• 編程：避免因運算符結合性導緻的邏輯錯誤（如指數運算在某些語言中是右結合）。
• 數學證明：利用結合律簡化表達式（如矩陣乘法）。

---

注意區分

• 結合性 vs交換性：結合性關注分組方式，交換性關注操作數順序（如加法滿足交換律，但矩陣乘法不滿足）。

如果需要具體領域的擴展解釋（如邏輯學或編程語言中的特殊案例），可進一步說明。

别人正在浏覽的英文單詞...

【别人正在浏覽】