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n. [数] 结合性

例句

The theorem that alternativity can replace associativity is true.

交替性可以代替关联性的定理是正确的。

The comma operator has left-to-right associativity.

逗号运算符具有从左向右的关联性。

This property of composition is called associativity.

复合的这个性质叫做可结合性。

This can override both the order of precedence and the left associativity.

这样可以同时覆写优先顺序和左顺序关联性。

Associativity specifies how to group operators at the same precedence level.

结合性规定了具有相同优先级的运算符如何进行分组。

专业解析

在数学和计算机科学中，结合性（Associativity）描述的是二元运算的一种基本性质。它指的是在包含多个相同运算符的表达式中，只要运算数的顺序不变，运算的先后分组方式不会影响最终结果。

核心含义：

• 对于一个定义在集合 S 上的二元运算 *（例如加法 + 或乘法 ×），如果该运算满足结合性，那么对于集合 S 中的任意三个元素 a, b, c，以下等式恒成立：

  (a * b) * c = a * (b * c)

• 这个等式表明，无论你是先将 a 和 b 进行运算，然后将结果与 c 运算；还是先将 b 和 c 进行运算，然后将 a 与结果运算，最终得到的结果是相同的。
• 满足结合性的运算允许我们省略表达式中的括号而不引起歧义。例如，对于加法，我们直接写 a + b + c，而无需指定是 (a + b) + c 还是 a + (b + c)，因为结果是一样的。

示例：

1. 加法（+）是结合的：

   • (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
   • 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
   • 结果相同，所以 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)。

2. 乘法（×）是结合的：

   • (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
   • 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
   • 结果相同，所以 (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)。

3. 字符串连接（在许多编程语言中）是结合的：

   • ("Hello" + " ") + "World" = "Hello " + "World" = "Hello World"
   • "Hello" + (" " + "World") = "Hello" + " World" = "Hello World"
   • 结果相同。

反例：

1. 减法（-）不是结合的：

   • (10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3
   • 10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7
   • 3 ≠ 7，所以 (10 - 5) - 2 ≠ 10 - (5 - 2)。

2. 除法（÷）不是结合的：

   • (12 ÷ 6) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
   • 12 ÷ (6 ÷ 2) = 12 ÷ 3 = 4
   • 1 ≠ 4，所以 (12 ÷ 6) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (6 ÷ 2)。

与交换律的区别：

• 结合性关注的是运算分组顺序（括号的位置）是否影响结果。
• 交换律关注的是运算数的左右顺序是否影响结果。例如，加法满足交换律：a + b = b + a，但结合性不涉及交换运算数的位置。一个运算可以满足结合律但不满足交换律（如矩阵乘法），也可以满足交换律但不满足结合律（这种情况较少见），或者两者都满足（如加法、乘法），或者两者都不满足（如减法）。

重要性：

• 简化表达式： 结合性允许我们安全地省略括号，写出更简洁的表达式（如 a + b + c + d）。
• 算法优化： 在计算机科学中，知道一个运算是结合的，可以帮助设计更高效的并行算法或优化计算顺序（例如，在归约操作中）。
• 代数结构基础： 结合性是定义许多重要代数结构（如群、半群、幺半群、环、域）的关键公理之一。

参考来源：

1. Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.). McGraw-Hill Education. (Chapter 2: Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, Sums, and Matrices - Section 2.6: Matrices) 该教材在集合、关系和代数结构章节详细定义了二元运算的性质，包括结合律。
2. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). The MIT Press. (Chapter 30: Polynomials and the FFT - Section 30.1: Representing Polynomials) 算法导论在讨论并行算法基础（如归约操作）时会强调结合性的重要性。
3. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. (Chapter 1: Introduction to Groups - Section 1.1: Basic Axioms and Examples) 抽象代数教材在群、环等代数结构的定义中，结合律是核心公理。

网络扩展资料

"Associativity"（结合性）是一个数学和计算机科学中的核心概念，主要用于描述运算或操作的分组方式对结果的影响。以下是详细解释：

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1. 数学中的结合性

指运算中操作数分组方式不影响最终结果的性质。若运算满足结合律，则： $$ (a ast b) ast c = a ast (b ast c) $$

• 满足结合律的运算：加法、乘法（如 $(2+3)+4=2+(3+4)$）。
• 不满足结合律的运算：减法、除法（如 $(5-3)-1 eq 5-(3-1)$）。

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2. 计算机科学中的结合性

决定运算符在表达式中的求值顺序（当优先级相同时）：

• 左结合性：从左到右分组（如 a - b - c 等价于 (a - b) - c）。
• 右结合性：从右到左分组（如 a = b = c 等价于 a = (b = c)）。

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3. 词源与构成

• 词根 "associate"（拉丁语 associare，意为“连接”），后缀 "-ity" 表示性质。
• 字面含义：运算符号“连接”操作数的方式。

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4. 实际应用

• 编程：避免因运算符结合性导致的逻辑错误（如指数运算在某些语言中是右结合）。
• 数学证明：利用结合律简化表达式（如矩阵乘法）。

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注意区分

• 结合性 vs交换性：结合性关注分组方式，交换性关注操作数顺序（如加法满足交换律，但矩阵乘法不满足）。

如果需要具体领域的扩展解释（如逻辑学或编程语言中的特殊案例），可进一步说明。

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