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共轭根英文解释翻译、共轭根的近义词、反义词、例句

英语翻译:

【电】 conjugate root

分词翻译:

共轭的英语翻译:

conjugate
【化】 conjugation

根的英语翻译:

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

专业解析

在数学领域,"共轭根"(conjugate roots)指复数根的特定对称关系。以下是基于汉英词典视角的权威解释:

一、术语定义

中文:共轭根

英文:Conjugate roots

核心概念:若复数 ( a + bi )(( a, b in mathbb{R}, , i = sqrt{-1} ))是实系数多项式的根,则其共轭复数 ( a - bi ) 必然也是该多项式的根。这一性质源于实系数多项式虚根成对出现的定理 。

二、数学表达与性质

设二次方程 ( x + px + q = 0 )(( p, q in mathbb{R} ))的根为: $$ r_1 = alpha + beta i, quad r_2 = alpha - beta i $$ 则两根满足:

  1. 和与积关系:

    ( r_1 + r_2 = 2alpha = -p )

    ( r_1 cdot r_2 = alpha + beta = q )

  2. 几何对称性:在复平面上,共轭根关于实轴对称分布 。

三、应用场景

  1. 信号处理:用于分析系统稳定性,共轭根对应传递函数的极点位置 。
  2. 控制理论:共轭根虚部决定振荡频率,实部决定衰减速率 。
  3. 量子力学:波函数解中的共轭根描述粒子概率幅的对称性 。

四、权威参考来源

  1. 《数学词典》(剑桥大学出版社):定义复数根的共轭对性质 来源
  2. Wolfram MathWorld:共轭根的代数与几何特性分析 来源
  3. 《工程数学手册》:应用案例详解(第4章)来源

注:以上链接经校验可正常访问,内容来自学术出版社及专业数学资源平台。

网络扩展解释

共轭根是代数学中与复数根相关的一个重要概念,尤其适用于实系数多项式方程。以下是详细解释:


1.复数共轭的定义

若一个复数为 ( z = a + bi )(其中 ( a, b ) 为实数,( i ) 为虚数单位),则它的共轭复数为 ( overline{z} = a - bi )。两者在复平面上关于实轴对称(见图示)。


2.共轭根定理

定理内容:如果一个实系数多项式方程有一个复数根 ( z = a + bi ),那么它的共轭复数 ( overline{z} = a - bi ) 也必然是该方程的根。
原因:实系数多项式的复数根必须成对出现,以保持系数为实数。
举例:


3.证明思路

假设多项式 ( P(x) = a_n x^n + cdots + a_1 x + a_0 ) 系数全为实数,且 ( z = a + bi ) 是根。
将 ( z ) 代入多项式,利用复数的共轭运算性质 ( overline{P(z)} = P(overline{z}) ),可得 ( P(overline{z}) = 0 ),即共轭复数 ( overline{z} ) 也是根。


4.应用场景


5.特殊说明


共轭根定理揭示了实系数多项式复数根的对称性,是简化方程求解和分析的重要工具。

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