
【电】 conjugate root
conjugate
【化】 conjugation
base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root
在数学领域,"共轭根"(conjugate roots)指复数根的特定对称关系。以下是基于汉英词典视角的权威解释:
中文:共轭根
英文:Conjugate roots
核心概念:若复数 ( a + bi )(( a, b in mathbb{R}, , i = sqrt{-1} ))是实系数多项式的根,则其共轭复数 ( a - bi ) 必然也是该多项式的根。这一性质源于实系数多项式虚根成对出现的定理 。
设二次方程 ( x + px + q = 0 )(( p, q in mathbb{R} ))的根为: $$ r_1 = alpha + beta i, quad r_2 = alpha - beta i $$ 则两根满足:
( r_1 + r_2 = 2alpha = -p )
( r_1 cdot r_2 = alpha + beta = q )
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共轭根是代数学中与复数根相关的一个重要概念,尤其适用于实系数多项式方程。以下是详细解释:
若一个复数为 ( z = a + bi )(其中 ( a, b ) 为实数,( i ) 为虚数单位),则它的共轭复数为 ( overline{z} = a - bi )。两者在复平面上关于实轴对称(见图示)。
定理内容:如果一个实系数多项式方程有一个复数根 ( z = a + bi ),那么它的共轭复数 ( overline{z} = a - bi ) 也必然是该方程的根。
原因:实系数多项式的复数根必须成对出现,以保持系数为实数。
举例:
假设多项式 ( P(x) = a_n x^n + cdots + a_1 x + a_0 ) 系数全为实数,且 ( z = a + bi ) 是根。
将 ( z ) 代入多项式,利用复数的共轭运算性质 ( overline{P(z)} = P(overline{z}) ),可得 ( P(overline{z}) = 0 ),即共轭复数 ( overline{z} ) 也是根。
共轭根定理揭示了实系数多项式复数根的对称性,是简化方程求解和分析的重要工具。
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