概率密度英文解释翻译、概率密度的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 probability density
【化】 density of probability; probability density

分词翻译：

概率的英语翻译：

probability
【化】 probability
【医】 probability
【经】 probability

密度的英语翻译：

density; thickness
【化】 density
【医】 density

专业解析

在汉英词典视角下，“概率密度”（Probability Density）是概率论与统计学中描述连续随机变量分布特征的核心概念。以下从定义、数学表达、物理意义及权威参考角度进行解释：

一、术语定义与汉英对照

中文术语：概率密度
英文术语：Probability Density
核心定义：
概率密度是描述连续随机变量在特定取值点附近概率分布强度的函数。其函数值本身并非概率，而是概率在单位长度上的“密度”。连续随机变量在区间 ([a, b]) 内的概率等于概率密度函数（Probability Density Function, PDF）在该区间上的积分。

数学表达：

$$ P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x) , dx $$

其中 (f(x)) 为概率密度函数，需满足非负性（(f(x) geq 0)）和归一性（(int{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1)）。

二、与“概率”的关键区别

概率（Probability）：描述离散随机事件发生的可能性（值域为 ([0, 1])）。
概率密度：描述连续随机变量在无穷小区间内的概率相对强度（值域为 ([0, +infty))）。
示例：

对于连续变量 (X)，其在单点 (x_0) 的概率 (P(X = x_0) = 0)，但可通过 (f(x_0)) 反映该点邻域的概率集中程度。

三、典型概率密度函数举例

正态分布（Normal Distribution）：
$$f(x) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}}$$

参数 (mu) 为均值，(sigma) 为标准差，描述自然与社会现象的普遍分布（如身高测量误差）。

来源：华东师范大学《概率论与数理统计教程》（茆诗松等著）
指数分布（Exponential Distribution）：
$$f(x) = lambda e^{-lambda x} quad (x geq 0)$$

用于描述独立事件发生的时间间隔（如设备寿命、客服等待时间）。

来源：《All of Statistics》（Larry Wasserman, Springer）

四、应用场景

统计推断：通过样本数据估计总体分布（如极大似然估计需依赖PDF）。
风险评估：金融模型（如VaR计算）依赖对数收益率概率密度建模。
物理建模：量子力学中粒子位置的概率密度由波函数模平方给出。

权威参考来源

中文教材：
- 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 《概率论与数理统计教程》（第三版）. 高等教育出版社, 2019.
  定义章节：2.3节“连续型随机变量”
英文经典：
- Casella, G., & Berger, R. L. Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury Press, 2002.
  核心内容：Chapter 1.6 "Density and Mass Functions"
数学百科：
- Weisstein, Eric W. "Probability Density Function." MathWorld–A Wolfram Web Resource.
  链接：https://mathworld.wolfram.com/ProbabilityDensityFunction.html

概率密度是连续随机变量概率分布的核心描述工具，其积分值表征概率，函数值反映概率分布的局部强度。理解其与离散概率的区别及积分性质是应用统计模型的基础。

网络扩展解释

概率密度是描述连续型随机变量概率分布的核心概念，主要用于衡量随机变量在某个值附近的可能性“密集程度”。以下是详细解释：

1. 基本定义

概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是一个非负可积函数，满足：

非负性：$f(x) geq 0$ 对所有$x$成立
归一性：$int_{-infty}^{infty} f(x) dx = 1$

对于连续型随机变量$X$，其在区间$[a, b]$内的概率由积分给出： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) dx $$

2. 与概率的区别

单点概率为零：在连续分布中，$P(X=c)=0$（因为积分区间退化为一点）
密度≠概率：密度值$f(x)$可以大于1（如均匀分布$U[0,0.5]$的密度为2），但积分后的概率不会超过1

3. 典型例子

正态分布的PDF： $$ f(x) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$

呈钟形曲线，$mu$控制中心位置，$sigma$控制曲线宽度
约68%的概率集中在$mu pm sigma$范围内

4. 与累积分布函数（CDF）的关系

CDF是PDF的积分：$F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^x f(t) dt$
PDF是CDF的导数：$f(x) = frac{d}{dx}F(x)$

5. 实际应用场景

统计分析：参数估计（如最大似然估计需要PDF）
物理测量：计算测量误差落在特定区间的概率
机器学习：概率生成模型（如高斯混合模型）依赖密度函数

注意：对于离散型随机变量，对应的概念是概率质量函数（PMF），直接给出各离散点的概率值。理解概率密度需要突破离散思维的局限，用积分思想把握连续概率分布的特性。