复数算术英文解释翻译、复数算术的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 complex arithmetic

分词翻译：

复数的英语翻译：

complex number; plural; pluralism; plurality
【计】 complex number
【经】 complex number

算术的英语翻译：

arithmetic
【计】 arithmetic expression

专业解析

复数算术（Complex Arithmetic）指对复数进行的数学运算，包括加法、减法、乘法、除法和模运算等。复数由实部（Real Part）和虚部（Imaginary Part）构成，标准形式为 ( a + bi )，其中 ( a ) 和 ( b ) 为实数，( i ) 是虚数单位（满足 ( i = -1 )）。

一、核心概念

复数定义（Complex Number）
复数扩展了实数集，引入虚数单位 ( i ) 表示 (sqrt{-1})。例如，( 3 + 4i ) 的实部为 3，虚部为 4。

来源：《数学分析教程》（高等教育出版社）
复平面（Complex Plane）
复数可表示为复平面上的点，横轴为实部，纵轴为虚部。例如，复数 ( 1 + i ) 对应坐标 (1,1)。

来源：《工程数学基础教程》（清华大学出版社）

二、运算规则

加法/减法
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减：

[ (a + bi) pm (c + di) = (a pm c) + (b pm d)i ]

例：( (2+3i) + (1-5i) = 3 - 2i )
乘法
遵循分配律并应用 ( i = -1 )：

[ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

例：( (1+i)(2-i) = 1cdot2 + 1cdot(-i) + icdot2 + icdot(-i) = 3 + i )
除法
需将分母实数化（乘以共轭复数）：

[ frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{c+d} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c+d} ]

例：( frac{1+i}{1-i} = frac{(1+i)}{1+(-1)} = i )

三、几何意义与应用

模与幅角（Modulus & Argument）
复数 ( z = a + bi ) 的模为 ( |z| = sqrt{a+b} )，幅角 ( theta = arctan(b/a) ) 表示复平面中的向量方向。

来源：《复变函数与积分变换》（科学出版社）
工程与物理应用
复数广泛用于交流电路分析（阻抗计算）、信号处理（傅里叶变换）及量子力学（波函数描述）。

来源：《电磁场与电磁波》（电子工业出版社）

四、扩展阅读

欧拉公式（Euler's Formula）：( e^{itheta} = costheta + isintheta )，关联复数与指数函数。
复数域的性质：复数集构成代数闭域，所有多项式方程均有解（代数基本定理）。
来源：《高等代数》（北京大学出版社）

网络扩展解释

复数算术是数学中研究复数及其基本运算规则的分支。以下从定义、运算规则和应用三个方面详细解释：

一、复数的定义

复数是由实数和虚数构成的数，形如 ( z = a + bi )，其中：

( a ) 是实部，( b ) 是虚部；
( i ) 是虚数单位，满足 ( i = -1 )。
当虚部 ( b = 0 ) 时，复数为实数；当实部 ( a = 0 ) 且 ( b eq 0 ) 时，称为纯虚数。

二、算术运算规则

复数算术包括以下基本运算：

加减法
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。例如：
[ (3+2i) + (5-4i) = 8-2i ]。
乘法
通过分配律展开，利用 ( i = -1 ) 化简。例如：
[ (2+3i)(4-5i) = 8-10i+12i-15i = 23+2i ]。
除法
通过乘以分母的共轭复数实现。例如：
[ frac{3+4i}{2-3i} = frac{(3+4i)(2+3i)}{(2) + (3)} = -frac{6}{13} + frac{17}{13}i ]。
运算律
复数满足交换律、结合律、分配律等基本运算律。

三、应用举例

电路分析
复数用于表示交流电的幅值和相位，简化正弦稳态电路的计算。
代数方程求解
复数为多项式方程提供完备解，例如 ( x + 1 = 0 ) 的解为 ( pm i )。
物理学方向表示
复数可描述具有大小和方向的物理量（如力、速度）。

复数算术扩展了实数运算体系，通过引入虚数单位 ( i )，解决了实数域中无法处理的方程问题，并在工程、物理等领域有广泛应用。