複數算術英文解釋翻譯、複數算術的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex arithmetic

分詞翻譯：

複數的英語翻譯：

complex number; plural; pluralism; plurality
【計】 complex number
【經】 complex number

算術的英語翻譯：

arithmetic
【計】 arithmetic expression

專業解析

複數算術（Complex Arithmetic）指對複數進行的數學運算，包括加法、減法、乘法、除法和模運算等。複數由實部（Real Part）和虛部（Imaginary Part）構成，标準形式為 ( a + bi )，其中 ( a ) 和 ( b ) 為實數，( i ) 是虛數單位（滿足 ( i = -1 )）。

一、核心概念

複數定義（Complex Number）
複數擴展了實數集，引入虛數單位 ( i ) 表示 (sqrt{-1})。例如，( 3 + 4i ) 的實部為 3，虛部為 4。

來源：《數學分析教程》（高等教育出版社）
複平面（Complex Plane）
複數可表示為複平面上的點，橫軸為實部，縱軸為虛部。例如，複數 ( 1 + i ) 對應坐标 (1,1)。

來源：《工程數學基礎教程》（清華大學出版社）

二、運算規則

加法/減法
實部與實部相加減，虛部與虛部相加減：

[ (a + bi) pm (c + di) = (a pm c) + (b pm d)i ]

例：( (2+3i) + (1-5i) = 3 - 2i )
乘法
遵循分配律并應用 ( i = -1 )：

[ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

例：( (1+i)(2-i) = 1cdot2 + 1cdot(-i) + icdot2 + icdot(-i) = 3 + i )
除法
需将分母實數化（乘以共轭複數）：

[ frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{c+d} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c+d} ]

例：( frac{1+i}{1-i} = frac{(1+i)}{1+(-1)} = i )

三、幾何意義與應用

模與幅角（Modulus & Argument）
複數 ( z = a + bi ) 的模為 ( |z| = sqrt{a+b} )，幅角 ( theta = arctan(b/a) ) 表示複平面中的向量方向。

來源：《複變函數與積分變換》（科學出版社）
工程與物理應用
複數廣泛用于交流電路分析（阻抗計算）、信號處理（傅裡葉變換）及量子力學（波函數描述）。

來源：《電磁場與電磁波》（電子工業出版社）

四、擴展閱讀

歐拉公式（Euler's Formula）：( e^{itheta} = costheta + isintheta )，關聯複數與指數函數。
複數域的性質：複數集構成代數閉域，所有多項式方程均有解（代數基本定理）。
來源：《高等代數》（北京大學出版社）

網絡擴展解釋

複數算術是數學中研究複數及其基本運算規則的分支。以下從定義、運算規則和應用三個方面詳細解釋：

一、複數的定義

複數是由實數和虛數構成的數，形如 ( z = a + bi )，其中：

( a ) 是實部，( b ) 是虛部；
( i ) 是虛數單位，滿足 ( i = -1 )。
當虛部 ( b = 0 ) 時，複數為實數；當實部 ( a = 0 ) 且 ( b eq 0 ) 時，稱為純虛數。

二、算術運算規則

複數算術包括以下基本運算：

加減法
實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。例如：
[ (3+2i) + (5-4i) = 8-2i ]。
乘法
通過分配律展開，利用 ( i = -1 ) 化簡。例如：
[ (2+3i)(4-5i) = 8-10i+12i-15i = 23+2i ]。
除法
通過乘以分母的共轭複數實現。例如：
[ frac{3+4i}{2-3i} = frac{(3+4i)(2+3i)}{(2) + (3)} = -frac{6}{13} + frac{17}{13}i ]。
運算律
複數滿足交換律、結合律、分配律等基本運算律。

三、應用舉例

電路分析
複數用于表示交流電的幅值和相位，簡化正弦穩态電路的計算。
代數方程求解
複數為多項式方程提供完備解，例如 ( x + 1 = 0 ) 的解為 ( pm i )。
物理學方向表示
複數可描述具有大小和方向的物理量（如力、速度）。

複數算術擴展了實數運算體系，通過引入虛數單位 ( i )，解決了實數域中無法處理的方程問題，并在工程、物理等領域有廣泛應用。