英语翻译：

【化】 recurrence method

分词翻译：

递的英语翻译：

give; hand over; pass; in the proper order; successively

推的英语翻译：

bunt; choose; deduce; hustle; infer; jostle; push; put off; shift; shove
trundle
【机】 buck; push

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

递推法（Recursive Method）是一种通过已知初始条件和递推关系来逐步推导出后续结果的数学或计算方法。在汉英词典中，该术语通常被定义为：

递推法

中文释义：从初始条件出发，通过重复应用特定规则（递推关系）逐步推导出后续项或结果的方法。

英文释义：A method that derives subsequent results by repeatedly applying a recurrence relation, starting from initial conditions.

核心特征

1. 初始条件（Base Case）

   递推过程必须始于明确的初始值或边界条件，作为推导的起点。例如，斐波那契数列中需定义 ( F(0)=0 )、( F(1)=1 )。

   来源：《计算机算法导论》（Introduction to Algorithms, Cormen et al.）

2. 递推关系（Recurrence Relation）

   通过公式描述当前项与前一（或前几）项的关系。如斐波那契数列的递推公式：

   $$

   F(n) = F(n-1) + F(n-2) quad (n geq 2)

   $$

   来源：《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and Its Applications, Rosen）

应用场景

• 数学领域：解决数列问题（如杨辉三角）、动态规划优化。
• 计算机科学：递归算法设计（如分治策略）、数据结构遍历（树/图）。
• 工程计算：数值模拟中的迭代求解（如差分方程）。

英文术语对照

• 递推法 → Recursive Method / Recurrence Method
• 递推关系 → Recurrence Relation
• 初始条件 → Initial Condition / Base Case

权威参考来源：

1. 《牛津计算机科学词典》（Oxford Dictionary of Computer Science）
2. 美国数学协会（Mathematical Association of America）术语库

网络扩展解释

递推法（又称递归法或递推关系法）是一种通过已知条件和递推关系逐步推导出后续结果的数学与计算机科学方法。其核心思想是将复杂问题分解为重复的、可递推的子问题，通过逐步迭代或递归求解。

关键要素

1. 初始条件
   递推的起点，通常是一个或多个已知的数值或状态。例如，斐波那契数列的初始条件为 ( F(0)=0 )、( F(1)=1 )。

2. 递推关系
   定义如何从已有结果推导出后续结果的公式或规则。例如，斐波那契数列的递推关系为 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )。

3. 终止条件
   确定何时停止递推的条件。例如，计算阶乘时，终止条件为 ( n=0 ) 或 ( n=1 )，此时直接返回 ( 1 )。

---

应用场景

• 数学问题
  如斐波那契数列、阶乘计算（( n! = n times (n-1)! )）、等差数列/等比数列求和。
• 计算机算法
  递归函数（如汉诺塔问题）、动态规划（通过递推公式优化重复计算）、分治策略（如归并排序）。
• 实际建模
  人口增长预测、金融复利计算等需要逐步推导的模型。

---

递推法的分类

1. 线性递推
   每一步仅依赖前一步的结果，例如等差数列 ( an = a{n-1} + d )。

2. 非线性递推
   依赖多个前序结果或包含非线性运算，例如斐波那契数列。

3. 递归与迭代实现

   • 递归：通过函数自我调用实现（需注意栈溢出风险）。
   • 迭代：通过循环结构逐步计算（通常更高效）。

---

示例说明

阶乘计算

• 初始条件：( 0! = 1 )
• 递推关系：( n! = n times (n-1)! )
• 终止条件：当 ( n=0 ) 时返回 1。

斐波那契数列

• 初始条件：( F(0)=0 )，( F(1)=1 )
• 递推关系：( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )
• 终止条件：当 ( n=0 ) 或 ( n=1 ) 时直接返回对应值。

---

优缺点

• 优点：逻辑清晰，代码简洁，适合解决具有重复结构的问题。
• 缺点：递归实现可能导致栈溢出或重复计算（如斐波那契数列的朴素递归时间复杂度为 ( O(2^n) )），需通过记忆化或迭代优化。

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与数学归纳法的联系

递推法的正确性常通过数学归纳法证明：验证初始条件成立，并假设第 ( k ) 步成立时，第 ( k+1 ) 步也成立。

如果需要具体实例或进一步探讨应用场景，可以参考算法教材或数学建模资料。

分类

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