对称闭包英文解释翻译、对称闭包的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 symmetric closure

分词翻译：

对称的英语翻译：

symmetry
【化】 symmetry
【医】 symmetry

闭的英语翻译：

close; shut

包的英语翻译：

bag; bale; package; wrap
【计】 package
【经】 bale; bundle

专业解析

在数学的关系代数领域中，对称闭包（symmetric closure）指对给定关系进行最小扩展，使其满足对称性。从汉英词典视角看，该术语对应英文翻译为"symmetric closure"，其中"closure"指通过系统化方法构建的封闭集合，"symmetric"强调元素间的双向关联特性。

根据《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and Its Applications）的定义，对于任意二元关系$R subseteq A times A$，其对称闭包可表示为： $$ R cup R^{-1} $$ 其中$R^{-1} = {(b,a) | (a,b) in R}$为原关系的逆关系。这种构造方法确保关系满足$forall a,b in A, (a,b) in R Rightarrow (b,a) in closure(R)$的对称性要求。

斯坦福大学数学系公开课讲义给出典型示例：若集合$A={1,2,3}$存在关系$R={(1,2),(3,2)}$，则对称闭包将新增$(2,1)$和$(2,3)$元素，形成${(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)}$的完整对称关系。

该概念在计算机科学领域有重要应用，如社交网络的双向关注关系建模，以及数据库管理系统中的对称查询优化。牛津数学词典特别指出，对称闭包与自反闭包、传递闭包共同构成关系完备化理论的基础框架。

网络扩展解释

对称闭包是关系理论中的一个重要概念，用于扩展一个关系使其满足对称性。以下是详细解释：

1.定义

对称闭包是包含原关系R的最小对称关系。即，在集合A上，若关系R不具有对称性（存在(a,b)∈R但(b,a)∉R），则需要添加最少的元素使其满足对称性。

2.构造方法

公式：对称闭包s(R) = R ∪ R⁻¹，其中R⁻¹是R的逆关系（即所有有序对颠倒后的集合）。
操作步骤：
① 计算R的逆关系R⁻¹ = {(b,a) | (a,b) ∈ R}；
② 将R与R⁻¹取并集，得到s(R)。

3.关键性质

最小性：s(R)是满足对称性的最小超集。任何包含R的对称关系必须包含s(R)。
对称性验证：若(a,b) ∈ s(R)，则(b,a) ∈ s(R)，因为s(R)已包含R和R⁻¹的所有元素。

4.示例

假设集合A = {1,2,3}，关系R = {(1,2), (3,2)}。此时：

R⁻¹ = {(2,1), (2,3)}；
s(R) = R ∪ R⁻¹ = {(1,2), (3,2), (2,1), (2,3)}，此时s(R)是对称的。

5.应用场景

在图论中，将无向图的邻接关系转化为对称闭包可确保边双向连通。
在数据库理论中，用于处理对称约束的完整性检查。

通过以上步骤，对称闭包能够以最简方式扩展原关系，使其满足对称性要求。