伯恩赛德引理英文解释翻译、伯恩赛德引理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Burnside's lemma

分词翻译：

伯恩的英语翻译：

Bern; Berne

赛的英语翻译：

contest; game; match; surpass

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

引理的英语翻译：

lemma

专业解析

伯恩赛德引理（Burnside's Lemma），在群论和组合数学中是一个用于计数群作用下轨道数目的重要工具。它指出，一个有限群 ( G ) 作用在一个有限集合 ( X ) 上时，其轨道（等价类）的数目等于群 ( G ) 中所有元素的不动点数的平均值。该引理以威廉·伯恩赛德命名，但实际由柯西和弗罗贝尼乌斯提出。

核心思想

设群 ( G ) 作用于集合 ( X )，轨道数 ( N ) 的计算公式为： $$ N = frac{1}{|G|} sum_{g in G} |X^g| $$ 其中：

( |G| ) 是群 ( G ) 的阶（元素个数），
( X^g = { x in X mid g cdot x = x } ) 表示元素 ( g ) 的不动点集合（即被 ( g ) 固定的 ( X ) 中的元素）。

数学表达与术语对照

中文术语	英文术语	定义描述
群作用 (Group Action)	Group Action	群 ( G ) 对集合 ( X ) 的映射 ( G times X to X )，满足结合律与单位元性质。
轨道 (Orbit)	Orbit	集合 ( X ) 中元素在群作用下形成的等价类。
不动点 (Fixed Point)	Fixed Point	在群元素 ( g ) 作用下保持不变的 ( X ) 中的元素。
稳定子群 (Stabilizer)	Stabilizer Subgroup	固定某元素 ( x in X ) 的群 ( G ) 的子群 ( { g in G mid g cdot x = x } )。

应用场景

组合计数：计算对称性下的染色方案数（如立方体面染色、项链问题）。
晶体学：分析晶体结构的对称等价位置。
密码学：研究对称操作对编码方案的影响。

历史背景

尽管以伯恩赛德命名，该引理最早由柯西（1845）和弗罗贝尼乌斯（1887）独立提出。伯恩赛德在《有限群论》（1897）中推广了此结论，故得名。

参考资料：

MathWorld: Burnside's Lemma
ProofWiki: Burnside's Lemma
Springer Monographs: Algebraic Combinatorics (Chapter 4, Group Actions)

网络扩展解释

伯恩赛德引理（Burnside's lemma）是群论和组合数学中的重要定理，主要用于计算在群作用下的不同等价类数目。以下是其核心要点：

定义与背景

核心思想
该引理通过统计群元素作用下集合中不动点的平均数量，来确定不同等价类的数量。其本质是将对称性引入计数问题，简化复杂对称结构的分类。
数学表达
设群 ( G ) 作用于集合 ( X )，等价类的数量（即轨道数）为： $$ |X/G| = frac{1}{|G|} sum_{g in G} text{Fix}(g) $$ 其中：
- ( text{Fix}(g) ) 表示元素 ( g ) 作用下保持不变的 ( X ) 中元素的个数（不动点数量）；
- ( |G| ) 是群 ( G ) 的阶（元素总数）。

直观理解

对称与等价：例如，在计算涂色方案时，旋转、翻转等操作会导致不同的方案被视为“等价”。伯恩赛德引理将这些对称操作的影响转化为数学公式。
应用场景：经典问题如棋盘染色、分子异构体计数、项链颜色排列等，均需通过此引理避免重复计算对称情况。

实例说明

以2×2方格涂色问题为例（每个格子可选涂或不涂）：

总方案数：( 2 = 16 ) 种。
对称操作：包含 4 种旋转（0°、90°、180°、270°）。
计算不动点：
- 0°旋转：所有方案均不变，不动点数 16；
- 90°和270°旋转：仅全涂或全不涂的方案不变，各 2 个；
- 180°旋转：对角线对称的涂色方案不变，共 4 个。
等价类数：( (16 + 2 + 4 + 2) / 4 = 6 ) 种本质不同的涂色方式。

意义与推广

历史贡献：该定理由伯恩赛德提出，但也被称为柯西-弗罗贝尼乌斯引理，反映了多位数学家的贡献。
扩展应用：在化学（晶体结构分析）、计算机科学（编码理论）等领域均有应用，且存在推广形式以处理更复杂的不对称情况。

如需进一步了解具体推导或更多案例，可参考组合数学教材或群论相关文献。