伯恩賽德引理英文解釋翻譯、伯恩賽德引理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Burnside's lemma

分詞翻譯：

伯恩的英語翻譯：

Bern; Berne

賽的英語翻譯：

contest; game; match; surpass

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

引理的英語翻譯：

lemma

專業解析

伯恩賽德引理（Burnside's Lemma），在群論和組合數學中是一個用于計數群作用下軌道數目的重要工具。它指出，一個有限群 ( G ) 作用在一個有限集合 ( X ) 上時，其軌道（等價類）的數目等于群 ( G ) 中所有元素的不動點數的平均值。該引理以威廉·伯恩賽德命名，但實際由柯西和弗羅貝尼烏斯提出。

核心思想

設群 ( G ) 作用于集合 ( X )，軌道數 ( N ) 的計算公式為： $$ N = frac{1}{|G|} sum_{g in G} |X^g| $$ 其中：

( |G| ) 是群 ( G ) 的階（元素個數），
( X^g = { x in X mid g cdot x = x } ) 表示元素 ( g ) 的不動點集合（即被 ( g ) 固定的 ( X ) 中的元素）。

數學表達與術語對照

中文術語	英文術語	定義描述
群作用 (Group Action)	Group Action	群 ( G ) 對集合 ( X ) 的映射 ( G times X to X )，滿足結合律與單位元性質。
軌道 (Orbit)	Orbit	集合 ( X ) 中元素在群作用下形成的等價類。
不動點 (Fixed Point)	Fixed Point	在群元素 ( g ) 作用下保持不變的 ( X ) 中的元素。
穩定子群 (Stabilizer)	Stabilizer Subgroup	固定某元素 ( x in X ) 的群 ( G ) 的子群 ( { g in G mid g cdot x = x } )。

應用場景

組合計數：計算對稱性下的染色方案數（如立方體面染色、項鍊問題）。
晶體學：分析晶體結構的對稱等價位置。
密碼學：研究對稱操作對編碼方案的影響。

曆史背景

盡管以伯恩賽德命名，該引理最早由柯西（1845）和弗羅貝尼烏斯（1887）獨立提出。伯恩賽德在《有限群論》（1897）中推廣了此結論，故得名。

參考資料：

MathWorld: Burnside's Lemma
ProofWiki: Burnside's Lemma
Springer Monographs: Algebraic Combinatorics (Chapter 4, Group Actions)

網絡擴展解釋

伯恩賽德引理（Burnside's lemma）是群論和組合數學中的重要定理，主要用于計算在群作用下的不同等價類數目。以下是其核心要點：

定義與背景

核心思想
該引理通過統計群元素作用下集合中不動點的平均數量，來确定不同等價類的數量。其本質是将對稱性引入計數問題，簡化複雜對稱結構的分類。
數學表達
設群 ( G ) 作用于集合 ( X )，等價類的數量（即軌道數）為： $$ |X/G| = frac{1}{|G|} sum_{g in G} text{Fix}(g) $$ 其中：
- ( text{Fix}(g) ) 表示元素 ( g ) 作用下保持不變的 ( X ) 中元素的個數（不動點數量）；
- ( |G| ) 是群 ( G ) 的階（元素總數）。

直觀理解

對稱與等價：例如，在計算塗色方案時，旋轉、翻轉等操作會導緻不同的方案被視為“等價”。伯恩賽德引理将這些對稱操作的影響轉化為數學公式。
應用場景：經典問題如棋盤染色、分子異構體計數、項鍊顔色排列等，均需通過此引理避免重複計算對稱情況。

實例說明

以2×2方格塗色問題為例（每個格子可選塗或不塗）：

總方案數：( 2 = 16 ) 種。
對稱操作：包含 4 種旋轉（0°、90°、180°、270°）。
計算不動點：
- 0°旋轉：所有方案均不變，不動點數 16；
- 90°和270°旋轉：僅全塗或全不塗的方案不變，各 2 個；
- 180°旋轉：對角線對稱的塗色方案不變，共 4 個。
等價類數：( (16 + 2 + 4 + 2) / 4 = 6 ) 種本質不同的塗色方式。

意義與推廣

曆史貢獻：該定理由伯恩賽德提出，但也被稱為柯西-弗羅貝尼烏斯引理，反映了多位數學家的貢獻。
擴展應用：在化學（晶體結構分析）、計算機科學（編碼理論）等領域均有應用，且存在推廣形式以處理更複雜的不對稱情況。

如需進一步了解具體推導或更多案例，可參考組合數學教材或群論相關文獻。