英语翻译：

【计】 absolute value sign

分词翻译：

绝对的英语翻译：

absolute; absolutely; absoluteness; definitely; perfectly; utter; utterly
【计】 ABS

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

符号的英语翻译：

denotation; insignia; mark; note; sign; symbol; tittle; type
【计】 glyph; S; SYM; symbol
【医】 notation; symbol
【经】 symbols

专业解析

绝对值符号的数学定义与表示

绝对值符号（Absolute Value Symbol）在数学中表示为两条竖线“| |”，用于表示一个数在数轴上距离原点（0点）的距离，恒为非负值。其标准定义为：

对于任意实数 ( x )，

[ |x| = begin{cases} x & text{若 } x geq 0 -x & text{若 } x < 0 end{cases} ]

例如：( |5| = 5 )，( |-5| = 5 )。英文术语为absolute value bars 或modulus symbol。

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核心性质与运算规则

1. 非负性：( |x| geq 0 )，且 ( |x| = 0 ) 当且仅当 ( x = 0 )；
2. 对称性：( |-x| = |x| )；
3. 乘除性质：( |xy| = |x||y| )，( left| frac{x}{y} right| = frac{|x|}{|y|} )（( y eq 0 )）；
4. 三角不等式：( |x + y| leq |x| + |y| )（几何意义：两边之和大于第三边）。

   这些性质在解决方程（如 ( |x-3| = 5 )）和不等式时具有关键作用。

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应用场景与跨学科意义

1. 数学计算：用于简化含符号的运算（如复数模 ( |a + bi| = sqrt{a + b} )）；
2. 物理与工程：表示标量物理量的幅值（如误差范围 ( |Delta x| )）；
3. 编程语言：多数语言（如Python的abs、C++的std::abs）直接支持绝对值函数；
4. 几何意义：在数轴上直观体现距离，是度量空间的基础概念之一。

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权威参考来源

1. 《数学百科全书》（Encyclopedia of Mathematics）对绝对值公理的定义；
2. Wolfram MathWorld 对绝对值符号的运算规则解析；
3. IEEE 标准中对工程计算中绝对值应用的规范说明。

网络扩展解释

绝对值符号是数学中表示一个数的非负值的符号，通常用两个竖线“| |”将数值或表达式包裹起来。以下是详细解释：

一、基本定义

绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离。例如：

• |5| = 5（正数的绝对值是它本身）
• |-3| = 3（负数的绝对值是其相反数）
• |0| = 0（零的绝对值仍是零）

二、符号特性

1. 非负性：绝对值结果总是非负数，即 $|a| geq 0$
2. 对称性：$|a| = |-a|$
3. 乘法性质：$|a cdot b| = |a| cdot |b|$
4. 三角不等式：$|a + b| leq |a| + |b|$

三、应用场景

1. 解方程：如 $|x - 2| = 5$ 的解为 $x = 7$ 或 $x = -3$
2. 几何意义：表示两点间的距离（如 $|x_1 - x_2|$ 是数轴上两点的间距）
3. 工程计算：用于消除方向性影响（如误差分析）

四、注意事项

• 处理含绝对值的方程时需分情况讨论
• 绝对值函数图像呈“V”形，在原点处转折

若需进一步了解绝对值在复数中的扩展（模长）或分段函数表示，可补充提问。

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