同构群英文解释翻译、同构群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 isomorphic group

分词翻译：

同的英语翻译：

alike; be the same as; in common; same; together
【医】 con-; homo-

构的英语翻译：

compose; construct; fabricate; form; make up
【机】 groove

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

在数学的群论领域中，同构群（isomorphism group）指代两个群之间满足结构完全相同的特殊关系。若群( (G, ast) )与群( (H, cdot) )之间存在一个双射映射( phi: G to H )，且该映射保持群运算（即对任意( a, b in G )，有( phi(a ast b) = phi(a) cdot phi(b) )），则称这两个群为同构群，记作( G cong H )。

核心性质与意义

结构等价性：同构群意味着两个群在代数结构上无法区分，例如循环群( mathbb{Z}_4 )与单位复数乘法群( {1, i, -1, -i} )同构。
分类作用：数学家通过同构关系对群进行分类，如有限单群的分类定理即依赖同构性质。
应用领域：该概念在密码学（如椭圆曲线群结构）、晶体学（空间对称群分析）及量子力学（李群表示论）中有重要应用。

示例解析

考虑整数加法群( mathbb{Z} )与偶数加法群( 2mathbb{Z} )，映射( phi(n) = 2n )满足同构条件，因此二者构成同构群。此例表明，无限群之间同样可通过缩放操作实现结构等价。

参考文献：

《抽象代数导论》（John Wiley & Sons出版社）
MathWorld数学百科（Wolfram Research）
《群论及其物理应用》（Springer出版）

网络扩展解释

同构群（Isomorphism Group）是群论中的一个重要概念，通常涉及以下两种含义：

1.群同构（Group Isomorphism）

若两个群 ( G ) 和 ( H ) 之间存在一个双射映射 (phi: G to H)，且该映射保持群运算结构，即满足： [ phi(a cdot b) = phi(a) circ phi(b) quad text{对所有}a, b in Gtext{成立}, ] 则称 ( G ) 和 ( H )同构，记作 ( G cong H )。此时，(phi) 称为一个同构映射。

意义：
同构的群在代数结构上完全一致，仅在元素符号或表现形式上不同。例如：

整数加法群 ( mathbb{Z} ) 与偶数加法群同构（通过映射 ( n mapsto 2n )）。
循环群 ( mathbb{Z}_4 ) 与模4加法群同构。

2.自同构群（Automorphism Group）

更常见的“同构群”指群 ( G ) 的自同构群，记作 ( text{Aut}(G) )，即所有从 ( G ) 到自身的同构映射（自同构）构成的集合，配合映射复合运算形成的群。

性质：

封闭性：两个自同构的复合仍是自同构。
单位元：恒等映射 ( text{id}(g) = g )。
逆元：每个自同构的逆映射也是自同构。

例子：

循环群 ( mathbb{Z}_n ) 的自同构群是乘法群 ( mathbb{Z}_n^times )（由与 ( n ) 互质的整数模 ( n ) 构成）。例如，( text{Aut}(mathbb{Z}_5) cong {1, 2, 3, 4} )（模5乘法群）。
对称群 ( S_3 ) 的自同构群与其自身同构（( text{Aut}(S_3) cong S_3 )）。

3.意义与应用

分类群：通过同构可将群分为等价类，简化研究。
对称性分析：自同构群描述群自身的对称性，例如图形的对称群、多项式的伽罗瓦群。
结构研究：自同构群的阶和性质反映了原群的结构特征（如是否可解、是否单群）。

“同构群”通常指自同构群 ( text{Aut}(G) )，但需结合上下文判断是否指代群之间的同构关系。两者均体现群结构的内在对称性与等价性，是抽象代数和几何研究中的核心工具。