metrizable是什么意思，metrizable的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

例句

专业解析

Metrizable（可度量化）是拓扑学中的一个核心概念，指一个拓扑空间能否通过某个度量（距离函数）诱导出其拓扑结构。具体而言：

1. 定义

   若拓扑空间 ((X, tau)) 的拓扑 (tau) 可由某个度量 (d: X times X to [0, +infty)) 诱导（即 (tau) 中的开集恰好是 (d) 下的开球并集），则称该空间是可度量化的（metrizable）。此时，度量 (d) 与拓扑 (tau) 兼容 。

2. 关键性质

   • 可度量化空间必满足分离公理：包括 (T_1)（单点集闭）和 (T_4)（正规性），且是仿紧空间 。
   • 判定定理：
     • Urysohn度量化定理：第二可数且正则的拓扑空间必然可度量化（例如欧氏空间 (mathbb{R}^n)）。
     • Nagata-Smirnov度量化定理：空间可度量化当且仅当它是正则且具有(sigma)-局部有限基 。

3. 应用场景

   可度量化空间在分析学中尤为重要，因其允许使用度量工具（如收敛性、完备性）研究连续性、紧性等拓扑性质。例如：

   • 赋范线性空间的弱拓扑在有限维情形可度量化，但无限维时不可度量化 。
   • 流形理论中，仿紧性是可度量化的关键条件之一 。

参考资料

1. Willard, S. General Topology (定义与Urysohn定理)
2. Munkres, J. R. Topology: A First Course (性质与仿紧性)
3. Engelking, R. General Topology (Nagata-Smirnov定理)
4. Conway, J. B. A Course in Functional Analysis (弱拓扑案例)

网络扩展资料

单词metrizable（或拼写为metrisable）是数学领域（尤其是拓扑学）的术语，其核心含义为“可度量的”或“可度量化的”。以下是详细解释：

基本定义

• 词性：形容词（adj.）
• 直译：指某个数学对象（如空间、拓扑结构等）可以被赋予一个度量（metric），即存在一个与该对象原有结构兼容的度量方式。
• 应用场景：常见于描述拓扑空间是否具有可度量化性质。例如，若一个拓扑空间被称为metrizable space，则说明它可以通过定义合适的度量（如距离函数）转化为度量空间。

数学中的具体解释

在拓扑学中，若一个拓扑空间的拓扑结构（即开集定义）可以通过某个度量诱导出来，则该空间称为metrizable。具体来说：

1. 兼容性：存在一个度量 $d: X times X to mathbb{R}$，使得该度量生成的拓扑与原拓扑一致。
2. 重要性：可度量化空间具有许多良好性质，例如满足分离公理（如Hausdorff性）、存在可数基（若空间是第二可数的）等。

例子与反例

• 可度量化空间：
  • 所有赋范线性空间（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$）均是可度量化的，其范数自然诱导出度量。
  • 满足第二可数和正则性的拓扑空间（Urysohn度量化定理）。
• 不可度量化空间：
  • 某些非Hausdorff空间（如平凡拓扑空间）。
  • 无限维拓扑向量空间中某些弱拓扑结构。

补充说明

• 与“度量空间”的区别：度量空间（metric space）是已配备度量的空间，而“metrizable”仅表明存在度量化可能性，不特指某个具体度量。
• 实际应用：在分析学、泛函分析中，研究空间是否可度量化有助于选择合适的研究工具（如序列收敛性、紧性等）。

如果需要更深入的数学定义或定理证明，建议参考拓扑学教材（如Munkres的《Topology》）或相关学术文献。

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