metrizable是什麼意思，metrizable的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

Metrizable（可度量化）是拓撲學中的一個核心概念，指一個拓撲空間能否通過某個度量（距離函數）誘導出其拓撲結構。具體而言：

1. 定義

   若拓撲空間 ((X, tau)) 的拓撲 (tau) 可由某個度量 (d: X times X to [0, +infty)) 誘導（即 (tau) 中的開集恰好是 (d) 下的開球并集），則稱該空間是可度量化的（metrizable）。此時，度量 (d) 與拓撲 (tau) 兼容 。

2. 關鍵性質

   • 可度量化空間必滿足分離公理：包括 (T_1)（單點集閉）和 (T_4)（正規性），且是仿緊空間 。
   • 判定定理：
     • Urysohn度量化定理：第二可數且正則的拓撲空間必然可度量化（例如歐氏空間 (mathbb{R}^n)）。
     • Nagata-Smirnov度量化定理：空間可度量化當且僅當它是正則且具有(sigma)-局部有限基 。

3. 應用場景

   可度量化空間在分析學中尤為重要，因其允許使用度量工具（如收斂性、完備性）研究連續性、緊性等拓撲性質。例如：

   • 賦範線性空間的弱拓撲在有限維情形可度量化，但無限維時不可度量化 。
   • 流形理論中，仿緊性是可度量化的關鍵條件之一 。

參考資料

1. Willard, S. General Topology (定義與Urysohn定理)
2. Munkres, J. R. Topology: A First Course (性質與仿緊性)
3. Engelking, R. General Topology (Nagata-Smirnov定理)
4. Conway, J. B. A Course in Functional Analysis (弱拓撲案例)

網絡擴展資料

單詞metrizable（或拼寫為metrisable）是數學領域（尤其是拓撲學）的術語，其核心含義為“可度量的”或“可度量化的”。以下是詳細解釋：

基本定義

• 詞性：形容詞（adj.）
• 直譯：指某個數學對象（如空間、拓撲結構等）可以被賦予一個度量（metric），即存在一個與該對象原有結構兼容的度量方式。
• 應用場景：常見于描述拓撲空間是否具有可度量化性質。例如，若一個拓撲空間被稱為metrizable space，則說明它可以通過定義合適的度量（如距離函數）轉化為度量空間。

數學中的具體解釋

在拓撲學中，若一個拓撲空間的拓撲結構（即開集定義）可以通過某個度量誘導出來，則該空間稱為metrizable。具體來說：

1. 兼容性：存在一個度量 $d: X times X to mathbb{R}$，使得該度量生成的拓撲與原拓撲一緻。
2. 重要性：可度量化空間具有許多良好性質，例如滿足分離公理（如Hausdorff性）、存在可數基（若空間是第二可數的）等。

例子與反例

• 可度量化空間：
  • 所有賦範線性空間（如歐幾裡得空間 $mathbb{R}^n$）均是可度量化的，其範數自然誘導出度量。
  • 滿足第二可數和正則性的拓撲空間（Urysohn度量化定理）。
• 不可度量化空間：
  • 某些非Hausdorff空間（如平凡拓撲空間）。
  • 無限維拓撲向量空間中某些弱拓撲結構。

補充說明

• 與“度量空間”的區别：度量空間（metric space）是已配備度量的空間，而“metrizable”僅表明存在度量化可能性，不特指某個具體度量。
• 實際應用：在分析學、泛函分析中，研究空間是否可度量化有助于選擇合適的研究工具（如序列收斂性、緊性等）。

如果需要更深入的數學定義或定理證明，建議參考拓撲學教材（如Munkres的《Topology》）或相關學術文獻。

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