[数] 反常积分；[数] 广义积分
Chapter 4, omitting the section on the existence of the integral but includng improper integrals.
第四章略去了关于积分存在性那一节，且包括广义积分。
Infinite integral is a type of improper integral in calculi, and it is also a difficult point in integral.
无穷限积分是微积分学中广义积分的一种类型，是积分知识的一个难点内容。
The second part is in uniform convergence conditions function series, function and parameter improper integral. We properties.
第二部分是在一致收敛条件下函数列、函数项级数以及含参量反常积分的性质。
In this paper, some relationships between improper double integral and improper iterated are discussed, and the corresponding results are generalized into the improper triple integrals.
本文通过讨论广义重积分与广义逐次积分之间的关系，得出一些结论，并将相应结果推广到广义三重积分与广义三次积分中。
反常积分（improper integral）是微积分中针对两类特殊积分形式的统称，主要包括无限区间积分和无界函数积分。其核心特征在于积分区域或被积函数存在“非正常”情况，需要通过极限方法重新定义积分值。
这类积分涉及无限延伸的积分区间，例如积分上限或下限为无穷大。定义方式为将无穷限替换为变量并取极限。例如： $$ int{a}^{infty} f(x) , dx = lim{b to infty} int{a}^{b} f(x) , dx $$ 典型例子是积分$int{1}^{infty} frac{1}{x} dx$，其收敛值为1。
当被积函数在积分区间某点附近无界时，需将积分拆分为极限形式。例如函数$f(x) = frac{1}{sqrt{x}}$在$x=0$处无界，其积分定义为： $$ int{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx = lim{a to 0^+} int_{a}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx $$ 计算后可得结果为2。
反常积分是否收敛可通过比较判别法或极限判别法判断。例如，若存在函数$g(x)$满足$|f(x)| leq g(x)$且$int g(x) dx$收敛，则原积分也收敛。
参考来源：
广义积分（improper integral）是定积分的扩展形式，用于处理两种特殊情况的积分问题：积分区间无限或被积函数在积分区间内存在无界点（即瑕点）。以下是详细解释：
当积分的上限或下限为无穷大时，需通过极限定义积分结果。例如：
积分从固定点到正无穷：
$$int{a}^{infty} f(x) , dx = lim{t to infty} int{a}^{t} f(x) , dx$$
若极限存在，则称积分收敛，否则发散。
例子：
$$int{1}^{infty} frac{1}{x} , dx = lim_{t to infty} left[ -frac{1}{x} right]1^t = 1 quad (text{收敛})$$
$$int{1}^{infty} frac{1}{x} , dx = lim_{t to infty} ln t quad (text{发散})$$
积分从负无穷到正无穷：
需拆分为两部分，分别取极限：
$$int{-infty}^{infty} f(x) , dx = int{-infty}^{a} f(x) , dx + int_{a}^{infty} f(x) , dx$$
两部分均收敛时，整体收敛。
当函数在区间内某点附近无界（如分母为零），需将积分拆分为极限。例如：
瑕点在区间端点：
$$int{a}^{b} frac{1}{(x-a)^p} , dx quad (a < x leq b)$$
若 $p < 1$ 则收敛，否则发散。
例子：
$$int{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} , dx = lim{t to 0^+} int{t}^{1} x^{-1/2} , dx = 2 quad (text{收敛})$$
$$int{0}^{1} frac{1}{x} , dx = lim{t to 0^+} ln x Big|_{t}^{1} quad (text{发散})$$
瑕点在区间内部：
需将区间拆分为瑕点两侧的积分，例如：
$$int{a}^{b} f(x) , dx = int{a}^{c} f(x) , dx + int_{c}^{b} f(x) , dx$$
若两部分均收敛，则整体收敛。
广义积分在数学和物理中广泛应用，例如：
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