improper integral是什麼意思，improper integral的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

[數] 反常積分；[數] 廣義積分

例句

Chapter 4, omitting the section on the existence of the integral but includng improper integrals.

第四章略去了關于積分存在性那一節，且包括廣義積分。

Infinite integral is a type of improper integral in calculi, and it is also a difficult point in integral.

無窮限積分是微積分學中廣義積分的一種類型，是積分知識的一個難點内容。

The second part is in uniform convergence conditions function series, function and parameter improper integral. We properties.

第二部分是在一緻收斂條件下函數列、函數項級數以及含參量反常積分的性質。

In this paper, some relationships between improper double integral and improper iterated are discussed, and the corresponding results are generalized into the improper triple integrals.

本文通過讨論廣義重積分與廣義逐次積分之間的關系，得出一些結論，并将相應結果推廣到廣義三重積分與廣義三次積分中。

專業解析

反常積分（improper integral）是微積分中針對兩類特殊積分形式的統稱，主要包括無限區間積分和無界函數積分。其核心特征在于積分區域或被積函數存在“非正常”情況，需要通過極限方法重新定義積分值。

一、無限區間積分

這類積分涉及無限延伸的積分區間，例如積分上限或下限為無窮大。定義方式為将無窮限替換為變量并取極限。例如： $$ int{a}^{infty} f(x) , dx = lim{b to infty} int{a}^{b} f(x) , dx $$ 典型例子是積分$int{1}^{infty} frac{1}{x} dx$，其收斂值為1。

二、無界函數積分（瑕積分）

當被積函數在積分區間某點附近無界時，需将積分拆分為極限形式。例如函數$f(x) = frac{1}{sqrt{x}}$在$x=0$處無界，其積分定義為： $$ int{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx = lim{a to 0^+} int_{a}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx $$ 計算後可得結果為2。

三、收斂性判定方法

反常積分是否收斂可通過比較判别法或極限判别法判斷。例如，若存在函數$g(x)$滿足$|f(x)| leq g(x)$且$int g(x) dx$收斂，則原積分也收斂。

參考來源：

托馬斯微積分（第14版）第8.7章
Paul's Online Math Notes關于反常積分的章節
美國數學學會（AMS）出版的《積分收斂準則》

網絡擴展資料

廣義積分（improper integral）是定積分的擴展形式，用于處理兩種特殊情況的積分問題：積分區間無限或被積函數在積分區間内存在無界點（即瑕點）。以下是詳細解釋：

1. 積分區間無限的情況

當積分的上限或下限為無窮大時，需通過極限定義積分結果。例如：

積分從固定點到正無窮：
$$int{a}^{infty} f(x) , dx = lim{t to infty} int{a}^{t} f(x) , dx$$
若極限存在，則稱積分收斂，否則發散。
例子：
$$int{1}^{infty} frac{1}{x} , dx = lim_{t to infty} left[ -frac{1}{x} right]1^t = 1 quad (text{收斂})$$
$$int{1}^{infty} frac{1}{x} , dx = lim_{t to infty} ln t quad (text{發散})$$
積分從負無窮到正無窮：
需拆分為兩部分，分别取極限：
$$int{-infty}^{infty} f(x) , dx = int{-infty}^{a} f(x) , dx + int_{a}^{infty} f(x) , dx$$
兩部分均收斂時，整體收斂。

2. 被積函數存在瑕點的情況

當函數在區間内某點附近無界（如分母為零），需将積分拆分為極限。例如：

瑕點在區間端點：
$$int{a}^{b} frac{1}{(x-a)^p} , dx quad (a < x leq b)$$
若 $p < 1$ 則收斂，否則發散。
例子：
$$int{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} , dx = lim{t to 0^+} int{t}^{1} x^{-1/2} , dx = 2 quad (text{收斂})$$
$$int{0}^{1} frac{1}{x} , dx = lim{t to 0^+} ln x Big|_{t}^{1} quad (text{發散})$$
瑕點在區間内部：
需将區間拆分為瑕點兩側的積分，例如：
$$int{a}^{b} f(x) , dx = int{a}^{c} f(x) , dx + int_{c}^{b} f(x) , dx$$
若兩部分均收斂，則整體收斂。

3. 應用與重要性

廣義積分在數學和物理中廣泛應用，例如：

概率論：概率密度函數在無窮區間的積分總為1（如正态分布）。
工程學：分析信號在時間趨于無窮時的能量。
經濟學：評估無限時間跨度的現值。

關鍵點總結

廣義積分通過極限處理“無限”或“無界”問題。
收斂性需通過計算極限或比較判别法判定。
發散的情況意味着積分結果趨向無窮或不存在。

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