eigenpolynomial是什么意思，eigenpolynomial的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

eigenpolynomial（特征多项式） 是线性代数中的一个核心概念，指与方阵（square matrix）紧密关联的一个特殊多项式。其定义和意义如下：

1. 定义与构造

   对于一个给定的 ( n times n ) 方阵 ( A )，其特征多项式 ( p_A(lambda) ) 定义为该矩阵减去 ( lambda ) 倍单位矩阵后的行列式（determinant），即：

   $$ p_A(lambda) = det(A - lambda I) $$

   其中 ( lambda ) 是一个变量，( I ) 是 ( n times n ) 单位矩阵。该表达式展开后是一个关于 ( lambda ) 的 ( n ) 次多项式 。

2. 与特征值的关系

   特征多项式的根（roots）直接对应矩阵 ( A ) 的特征值（eigenvalues）。若 ( lambda_0 ) 是方程 ( p_A(lambda) = 0 ) 的解，则 ( lambda_0 ) 是 ( A ) 的一个特征值。因此，特征多项式是求解矩阵特征值的基础工具 。

3. 数学性质

   • 次数：( n ) 阶矩阵的特征多项式是 ( n ) 次多项式。
   • 首项系数：最高次项 ( (-lambda)^n ) 的系数为 ( (-1)^n )。
   • 常数项：常数项等于 ( (-1)^n ) 乘以矩阵的行列式（即 ( det(A) )）。
   • 迹：多项式所有根（特征值）之和等于矩阵的迹（trace，即主对角线元素之和）。

4. 应用价值

   特征多项式在矩阵理论中具有重要作用，例如：

   • 特征值计算：通过求解多项式方程得到特征值。
   • 矩阵对角化：判断矩阵是否可对角化（需特征多项式有 ( n ) 个线性无关的特征向量）。
   • 系统稳定性分析：在控制论中，特征多项式的根决定线性系统的稳定性 。

权威参考来源：

1. 普林斯顿大学数学课程讲义（定义与性质）
2. MIT OpenCourseWare 线性代数课程材料（特征值与多项式关系）

网络扩展资料

"Eigenpolynomial"（特征多项式）是线性代数中与矩阵特征值相关的重要概念，其核心定义和性质如下：

1. 定义 特征多项式是方阵( A )通过公式 ( p(lambda) = det(lambda I - A) ) 生成的多项式，其中：

• ( lambda ) 为变量
• ( I ) 是单位矩阵
• ( det ) 表示矩阵的行列式

2. 构造与计算

• 对 ( n times n ) 矩阵，特征多项式是 ( n ) 次多项式
• 展开形式为：
  $$ p(lambda) = lambda^n - text{tr}(A)lambda^{n-1} + cdots + (-1)^n det(A) $$
  其中 (text{tr}(A)) 是矩阵的迹（对角线元素之和）

3. 核心作用

• 特征值求解：多项式的根即为矩阵的特征值
• 矩阵分析：通过特征值判断矩阵性质（如正定性、稳定性）
• 对角化条件：当特征多项式有 ( n ) 个不同根时，矩阵可对角化

4. 示例（2×2矩阵） 设矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征多项式为：
$$ detleft( lambdabegin{pmatrix}1&00&1end{pmatrix} - A right) = (lambda-2) - 1 = lambda -4lambda +3 $$
解得特征值 ( lambda=1 ) 和 ( lambda=3 )

5. 应用领域

• 量子力学（哈密顿算符能级）
• 机械振动（固有频率分析）
• 数据降维（PCA主成分分析）

该多项式在微分方程解的结构分析、动力系统稳定性判断中也有重要作用。如需具体矩阵的特征多项式计算，可提供矩阵元素进行分步演示。

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