eigenpolynomial是什麼意思，eigenpolynomial的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

eigenpolynomial（特征多項式） 是線性代數中的一個核心概念，指與方陣（square matrix）緊密關聯的一個特殊多項式。其定義和意義如下：

1. 定義與構造

   對于一個給定的 ( n times n ) 方陣 ( A )，其特征多項式 ( p_A(lambda) ) 定義為該矩陣減去 ( lambda ) 倍單位矩陣後的行列式（determinant），即：

   $$ p_A(lambda) = det(A - lambda I) $$

   其中 ( lambda ) 是一個變量，( I ) 是 ( n times n ) 單位矩陣。該表達式展開後是一個關于 ( lambda ) 的 ( n ) 次多項式 。

2. 與特征值的關系

   特征多項式的根（roots）直接對應矩陣 ( A ) 的特征值（eigenvalues）。若 ( lambda_0 ) 是方程 ( p_A(lambda) = 0 ) 的解，則 ( lambda_0 ) 是 ( A ) 的一個特征值。因此，特征多項式是求解矩陣特征值的基礎工具 。

3. 數學性質

   • 次數：( n ) 階矩陣的特征多項式是 ( n ) 次多項式。
   • 首項系數：最高次項 ( (-lambda)^n ) 的系數為 ( (-1)^n )。
   • 常數項：常數項等于 ( (-1)^n ) 乘以矩陣的行列式（即 ( det(A) )）。
   • 迹：多項式所有根（特征值）之和等于矩陣的迹（trace，即主對角線元素之和）。

4. 應用價值

   特征多項式在矩陣理論中具有重要作用，例如：

   • 特征值計算：通過求解多項式方程得到特征值。
   • 矩陣對角化：判斷矩陣是否可對角化（需特征多項式有 ( n ) 個線性無關的特征向量）。
   • 系統穩定性分析：在控制論中，特征多項式的根決定線性系統的穩定性 。

權威參考來源：

1. 普林斯頓大學數學課程講義（定義與性質）
2. MIT OpenCourseWare 線性代數課程材料（特征值與多項式關系）

網絡擴展資料

"Eigenpolynomial"（特征多項式）是線性代數中與矩陣特征值相關的重要概念，其核心定義和性質如下：

1. 定義 特征多項式是方陣( A )通過公式 ( p(lambda) = det(lambda I - A) ) 生成的多項式，其中：

• ( lambda ) 為變量
• ( I ) 是單位矩陣
• ( det ) 表示矩陣的行列式

2. 構造與計算

• 對 ( n times n ) 矩陣，特征多項式是 ( n ) 次多項式
• 展開形式為：
  $$ p(lambda) = lambda^n - text{tr}(A)lambda^{n-1} + cdots + (-1)^n det(A) $$
  其中 (text{tr}(A)) 是矩陣的迹（對角線元素之和）

3. 核心作用

• 特征值求解：多項式的根即為矩陣的特征值
• 矩陣分析：通過特征值判斷矩陣性質（如正定性、穩定性）
• 對角化條件：當特征多項式有 ( n ) 個不同根時，矩陣可對角化

4. 示例（2×2矩陣） 設矩陣 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征多項式為：
$$ detleft( lambdabegin{pmatrix}1&00&1end{pmatrix} - A right) = (lambda-2) - 1 = lambda -4lambda +3 $$
解得特征值 ( lambda=1 ) 和 ( lambda=3 )

5. 應用領域

• 量子力學（哈密頓算符能級）
• 機械振動（固有頻率分析）
• 數據降維（PCA主成分分析）

該多項式在微分方程解的結構分析、動力系統穩定性判斷中也有重要作用。如需具體矩陣的特征多項式計算，可提供矩陣元素進行分步演示。

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