複合傅裡葉級數英文解釋翻譯、複合傅裡葉級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex Fourier series

分詞翻譯：

複合的英語翻譯：

complex; composite; compound
【化】 recombination
【醫】 combination; recombination
【經】 compound

傅裡葉級數的英語翻譯：

【計】 Fourier series

專業解析

複合傅裡葉級數（Complex Fourier Series）是一種将周期函數分解為複數指數函數線性組合的數學工具。其核心思想是用$e^{inx}$（$n$為整數）構成的基函數系展開周期為$2pi$的函數，適用于工程、物理等領域的信號分析與諧波研究。

數學定義與公式對于周期為$2pi$的函數$f(x)$，其複數形式傅裡葉級數展開為： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{inx} $$ 其中傅裡葉系數$c_n$的計算公式為： $$ cn = frac{1}{2pi} int{-pi}^{pi} f(x)e^{-inx}dx $$

核心特征

複數對稱性：系數滿足$c_{-n} = overline{c_n}$，反映實函數展開的共轭對稱特性
收斂條件：滿足狄利克雷條件時，級數在連續點收斂于原函數值
頻域表達：指數項$e^{inx}$對應角頻率$n$的諧波分量

工程應用 • 通信系統的頻譜分析（參考《信號與系統》奧本海默著） • 量子力學波函數分解（來源：Springer《量子力學導論》） • 電磁場邊界值問題求解（IEEE Transactions on Antennas and Propagation）

學術權威參考

數學基礎理論：高等教育出版社《數學分析教程》第三章
工程應用實例：MIT開放式課程《微分方程與傅裡葉分析》
公式推導細節：Wolfram MathWorld傅裡葉級數條目

網絡擴展解釋

複合傅裡葉級數（通常指複數形式的傅裡葉級數）是一種将周期函數分解為複指數函數線性組合的數學工具。其核心思想是用複指數函數系 ${e^{i n omega x}}$（$n$ 為整數，$omega$ 為基頻）表示周期信號，適用于分析周期性現象。

核心公式

對于周期為 $T$ 的函數 $f(x)$，其複數傅裡葉級數展開為： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{i n omega x} $$ 其中基頻 $omega = frac{2pi}{T}$，系數 $c_n$ 由積分計算： $$ cn = frac{1}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i n omega x} dx $$

關鍵特性

正交基：複指數函數系在周期區間内滿足正交性，即不同頻率分量積分結果為零。
對稱性：系數滿足 $c_{-n} = overline{c_n}$（共轭對稱），保證級數結果為實數。
能量守恒：帕塞瓦爾定理表明時域與頻域能量相等：$frac{1}{T}int |f(x)| dx = sum |c_n|$。

與實數形式對比

實數傅裡葉級數用正弦/餘弦函數展開： $$ f(x) = a0 + sum{n=1}^infty [a_n cos(nomega x) + b_n sin(nomega x)] $$ 兩者可通過歐拉公式相互轉換，例如 $c_n = frac{a_n - ib_n}{2}$。

應用場景

信號處理中簡化頻譜分析
量子力學波函數展開
電磁場諧波分析

存在條件

需滿足狄利克雷條件：周期内絕對可積、有限個極值點與間斷點。

複數形式相比實數形式的優勢在于表達式更緊湊，且便于進行微分/積分運算，但物理意義不如實數形式直觀。