二次變分問題英文解釋翻譯、二次變分問題的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic variational problems

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

變分問題的英語翻譯：

【計】 variation problem

專業解析

在數學分析和變分法領域，二次變分問題（Second Variation Problem）是研究泛函極值二階特性的核心概念。該問題通過分析泛函的二階變分，判斷臨界點處極值的性質（如極小值或鞍點）。其英文術語為"second variation problem"，常與"calculus of variations"（變分法）相關聯。

從形式化角度，設泛函為$J[y] = int{a}^{b} F(x,y,y')dx$，當一階變分$delta J=0$時，函數$y(x)$達到臨界狀态。此時需考察二階變分： $$ delta J = int{a}^{b} left[ F{yy}(delta y) + 2F{yy'}delta ydelta y' + F_{y'y'}(delta y') right]dx $$ 若$delta J > 0$對任意非零變分$delta y$成立，則臨界點為極小值（根據Weierstrass理論。這種判定方法在彈性力學穩定性分析（如歐拉屈曲載荷計算）和最優控制理論中具有重要應用。

權威數學著作《變分法及其應用》（作者：I.M. Gelfand，ISBN 978-0-486-41448-5）第3章明确指出，二次變分的Legendre條件$F_{y'y'} > 0$是強極小值的必要條件。該結論被廣泛應用于量子力學路徑積分公式的收斂性證明（來源：Princeton大學數學系公開講義）。

網絡擴展解釋

二次變分問題是變分法中的核心概念，主要用于分析泛函極值的二階條件，類似于多元函數極值問題中的二階導數檢驗。以下是詳細解釋：

1.基本定義

二次變分是泛函的二階展開項。設泛函 ( J[y] ) 在 ( y ) 處可展開為： $$ J(y+varepsiloneta) = J(y) + varepsilon delta J|_y(eta) + frac{varepsilon}{2} delta J|_y(eta) + o(varepsilon), $$ 其中：

(delta J|_y) 為一階變分（判斷極值的必要條件），
(delta J|_y) 為二次變分，用于判斷極值的充分性。

2.數學意義

極值判定：若一階變分為零（臨界點），則需通過二次變分判斷極值類型。若二次變分正定，則泛函在該點取極小值；若負定則取極大值。
雙線性形式：二次變分通常表現為雙線性泛函 ( B(eta, eta) )，對應二次型 ( Q(eta) = B(eta, eta) )。

3.應用場景

調和映射：在微分幾何中，能量泛函的二次變分用于分析調和映射的穩定性。例如，黎曼流形間的映射 ( f: M to N )，其能量泛函的二次變分公式可判斷臨界點是否為極小值點。
經典變分問題：如等周問題、速降線問題中，二次變分用于驗證解的極值性質。

4.示例公式

對于基本變分問題 ( J[y] = int_a^b f(x, y, y') , dx )，其對應的 Euler-Lagrange 方程為一階條件，而二次變分可進一步推導為： $$ delta J|_y(eta) = inta^b left( f{yy} eta + 2 f{yy'} eta eta' + f{y'y'} (eta') right) dx, $$ 通過該表達式可判斷極值的穩定性。

5.重要性

二次變分不僅是極值判據，還在物理學（如量子力學路徑積分）、工程優化（如最優控制理論）中起關鍵作用，用于分析系統穩定性和解的魯棒性。

如需進一步了解具體領域（如調和映射）的二次變分公式，可參考微分幾何或變分法教材。