三角形公理；[數] 三角不等式
To establish a ******** inequality with exponent parameter.
建立一個含指數參數的三角形不等式。
In [2], YIN Jing-rao gets the ******** inequality about ******x.
在[2]中尹景堯得出關于單純形的一類三角不等式。
It is easy to construct an example which disproves the property of ******** inequality.
很容易構造一個不服從三角形不等式的例子。
You can say that the proof USES nothing beyond elementary matrix theory, repeated use of the ******** inequality, and the pigeonhole principle.
你可以簡要地說其實證明就是初等矩陣理論，三角不等式和鴿籠原理的運用。
For instance, it's also the square of the Euclidean norm on R2, the length of a two-dimensional vector, a part of the ******** inequality, and quite a bit more.
例如，R 2 的平方、二維向量的長度、三角不等式等都存在勾股定理。
三角不等式（Triangle Inequality）是數學中的基礎性定理，在幾何學、向量分析和度量空間理論中均有重要應用。其核心思想是：在任意三角形中，任意兩邊的長度之和大于第三邊的長度。在更廣泛的數學框架下，該定理可表述為兩點之間的直線距離是所有連接路徑中的最短距離。
在平面幾何中，三角不等式描述了一個三角形的邊長關系。對于任意三角形，若其三邊長為$a$、$b$和$c$，則滿足： $$ a + b > c, quad a + c > b, quad b + c > a. $$ 這一性質是歐幾裡得幾何的基本公理之一，确保了三點構成閉合圖形的條件（來源：Khan Academy幾何基礎課程）。
在向量空間中，三角不等式表現為向量範數的性質：對任意向量$mathbf{u}$和$mathbf{v}$，有： $$ |mathbf{u} + mathbf{v}| leq |mathbf{u}| + |mathbf{v}|. $$ 在一般度量空間$(X, d)$中，該定理則定義為： $$ d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z), $$ 其中$x, y, z in X$。這一推廣在分析學中用于證明收斂性和連續性（來源：Wolfram MathWorld）。
三角不等式的一個推論是反向形式，即： $$ | |mathbf{u}| - |mathbf{v}| | leq |mathbf{u} - mathbf{v}|, $$ 該式在誤差分析和優化問題中有重要應用（來源：Springer數學百科條目）。
“Triangle inequality”（三角不等式）是數學中的一個基礎概念，在不同領域（如幾何、向量空間、度量空間）有不同的表現形式，但核心思想一緻：任意兩邊的長度之和大于或等于第三邊的長度。
在幾何學中，三角不等式指：對于一個三角形的三條邊，任意兩邊之和必須大于第三邊。
即若三角形三邊分别為 (a)、(b)、(c)，則必須滿足：
$$
a + b > c, quad a + c > b, quad b + c > a
$$
應用：這是構成三角形的必要條件。例如，若三邊長為3、4、5，則滿足三角不等式，可以構成三角形；但若邊長為1、1、3，則 (1 + 1 < 3)，無法構成三角形。
在向量空間中，三角不等式描述的是向量的模長關系：
對于任意兩個向量 (mathbf{u}) 和 (mathbf{v})，滿足：
$$
|mathbf{u} + mathbf{v}| leq |mathbf{u}| + |mathbf{v}|
$$
意義：向量長度不超過各自長度的和。例如，若兩向量方向相同，等式成立；方向相反時，差的絕對值滿足類似性質。
在更一般的度量空間（如距離定義），三角不等式是度量（距離）的核心性質之一：
對任意三點 (x)、(y)、(z)，有：
$$
d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z)
$$
意義：兩點間的直接距離不大于經過第三點的路徑長度。例如，日常生活中的“直線最短”即符合此性質。
三角不等式是數學中“整體大于部分和”的直觀體現，廣泛應用于幾何證明、向量分析、優化問題等領域。理解其核心邏輯（不減性）有助于在不同數學分支中靈活應用。
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