quadratic form是什麼意思，quadratic form的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

二次型（quadratic form）是線性代數與多元微積分中的核心概念，指由多個變量的二次齊次多項式構成的數學表達式。其标準形式可表示為：

$$Q(mathbf{x}) = sum{i=1}^{n} sum{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j$$

其中 (mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, xn)) 是變量向量，系數 (a{ij}) 為實數或複數，且通常要求 (a{ij} = a{ji})（對稱性）。通過對稱矩陣 (mathbf{A} = (a_{ij}))，二次型可簡潔地寫成矩陣形式：

$$Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T mathbf{A} mathbf{x}$$

核心特性與幾何意義

1. 齊次性：所有項次數均為2，即滿足 (Q(cmathbf{x}) = c Q(mathbf{x}))。
2. 對稱矩陣表示：任何二次型均可通過對稱矩陣唯一确定，這一性質簡化了分析與計算。
3. 幾何解釋：在二維/三維空間中，二次型對應圓錐曲線（橢圓、雙曲線）或二次曲面（橢球面、雙曲面），其矩陣特征值決定幾何形狀。例如，正定二次型（所有特征值>0）的等高線為橢球面。

分類與應用領域

• 正定性：若 (forall mathbf{x} eq 0, Q(mathbf{x}) > 0)，則稱二次型正定，對應優化問題的凸性條件。
• 慣性定理：通過坐标變換可化為标準型 (Q = y_1 + cdots + yp - y{p+1} - cdots - y_{p+q})，其中正負項數（慣性指數）是變換不變量。
• 應用場景：

  • 優化理論：Hessian矩陣的二次型判别函數極值。

  • 物理學：表示能量函數（如彈性勢能）。

  • 統計學：多元正态分布的密度函數包含二次型。

權威參考

詳細定義與性質可參見高等教育出版社《線性代數》（同濟大學數學系編）第5章，或MIT OpenCourseWare線性代數課程講義（Gilbert Strang主講）中二次型與對稱矩陣相關章節。

網絡擴展資料

二次型（quadratic form）是線性代數中的一個核心概念，指由變量的二次項構成的齊次多項式。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

二次型的一般形式為： $$ f(x_1, x_2, dots, xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij}x_i xj quad (a{ij} = a_{ji}), $$ 其中所有項均為二次（如 $x_i$ 或 $x_i xj$），且系數矩陣 $mathbf{A} = [a{ij}]$ 為對稱矩陣。

示例：二維二次型可寫作
$$f(x, y) = ax + 2bxy + cy.$$

2. 矩陣表示

任何二次型都可表示為矩陣乘法形式： $$ f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T mathbf{A} mathbf{x}, $$ 其中 $mathbf{x}$ 是變量列向量，$mathbf{A}$ 是對稱矩陣。例如，上述二維例子對應的矩陣為： $$ mathbf{A} = begin{pmatrix} a & bb & c end{pmatrix}, quad mathbf{x} = begin{pmatrix} xy end{pmatrix}. $$

3. 重要性質

• 正定性：若對所有非零向量 $mathbf{x}$，$f(mathbf{x}) > 0$，則稱二次型為正定（對應矩陣 $mathbf{A}$ 的特征值全為正）。
• 規範形：通過坐标變換（如正交變換），二次型可化簡為僅含平方項的标準形式，例如： $$f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + cdots + lambda_n y_n,$$ 其中 $lambda_i$ 為矩陣 $mathbf{A}$ 的特征值。

4. 應用領域

• 幾何學：描述二次曲線/曲面（如橢圓、雙曲面）。
• 物理學：動能公式、剛體轉動慣量分析。
• 優化問題：判斷函數極值（如正定二次型有唯一最小值）。
• 統計學：協方差矩陣與二次型結合用于計算方差（如 $mathbf{x}^T Sigma mathbf{x}$）。

5. 示例說明

考慮二次型 $f(x, y) = 2x + 4xy + 5y$，其矩陣表示為： $$ mathbf{A} = begin{pmatrix} 2 & 22 & 5 end{pmatrix}, quad mathbf{x} = begin{pmatrix} xy end{pmatrix}. $$ 通過特征值分解，可将其化為标準形： $$ f = 6y_1 + y_2. $$

二次型通過簡潔的矩陣形式統一了多變量二次方程的研究，廣泛應用于科學、工程和經濟建模中。如需深入計算或幾何意義，可結合具體問題進一步分析。

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