[數] 雙曲正切
Calculates the inverse hyperbolic tangent of two.
結構的反雙曲正切值。
Returns the hyperbolic tangent of the specified Angle.
返回指定角度的雙曲正切值。
Another reason why hyperbolic tangent is a good choice is that it's easy to obtain its derivative.
另一個原因雙曲正切是一個很好的選擇是很容易得到它的導數。
The shock response of hyperbolic tangent system is investigated under the action of forward sawtooth pulse.
研究雙曲正切包裝系統在前峰鋸齒脈沖作用下的沖擊響應。
The shock response of hyperbolic tangent system is investigated under the action of final peak saw tooth shock pulse.
研究雙曲正切包裝系統在後峰鋸齒脈沖作用下的沖擊響應。
雙曲正切函數（Hyperbolic Tangent），通常記作tanh(x)，是雙曲函數中最核心的函數之一，類比于三角函數中的正切函數（tan）。它在數學、工程學（尤其是信號處理、控制系統）和物理學（如相對論、磁學）中應用廣泛。
雙曲正切函數定義為雙曲正弦（sinh）與雙曲餘弦（cosh）的比值： $$ tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$ 其中：
該定義直接關聯指數函數，體現了雙曲函數的本質源于指數增長與衰減的對稱性。
“雙曲”源于其與單位雙曲線 (x - y = 1) 的關系。類比三角函數通過單位圓定義，雙曲函數通過雙曲線參數化：若點 (( cosh t, sinh t )) 在雙曲線右支上，則 (tanh t) 表示該點縱坐标與橫坐标的比值，對應雙曲線漸近線斜率。
$tanh(x)$ 輸出範圍恒為 ((-1, 1))。當 (x to +infty) 時趨近于 (1)；(x to -infty) 時趨近于 (-1)，這一特性使其在神經網絡激活函數中用于限制輸出幅度。
滿足 (tanh(-x) = -tanh(x))，圖像關于原點對稱。
$frac{d}{dx}tanh(x) = 1 - tanh(x)$，梯度計算高效，利于優化算法應用。
參考資料：
雙曲正切函數（hyperbolic tangent，簡稱tanh）是數學中的一種基本雙曲函數，其定義和特性如下：
雙曲正切函數是雙曲正弦（sinh）與雙曲餘弦（cosh）的比值，公式為： $$ tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$ 其中，$sinh(x) = frac{e^x - e^{-x}}{2}$，$cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$。
取值範圍
$tanh(x)$ 的輸出值域為 $(-1, 1)$，當 $x to +infty$ 時趨近于 $1$，$x to -infty$ 時趨近于 $-1$。
對稱性
它是奇函數，滿足 $tanh(-x) = -tanh(x)$。
導數
導數為 $1 - tanh(x)$，計算高效，適合梯度優化（如神經網絡中的反向傳播）。
與普通正切的區别
普通正切函數（$tan$）基于單位圓定義，而 $tanh$ 基于雙曲線，兩者圖像形狀類似但應用場景不同。
神經網絡激活函數
因其輸出以零為中心且梯度平滑，常用于隱藏層，緩解梯度消失問題。
物理與工程
描述懸鍊線、熱傳導方程等自然現象。
數據歸一化
将輸入壓縮到 $(-1, 1)$ 範圍内，提升模型訓練穩定性。
$tanh$ 曲線呈 S 形，中心對稱，在原點附近近似線性，兩端平緩漸近于 $pm 1$。這種特性使其適合處理需要非線性但需限制輸出範圍的場景。
如需進一步了解其數學推導或與其他函數的對比，可提供具體方向補充說明。
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