Euclidean是什麼意思，Euclidean的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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Euclidean（歐幾裡得的） 一詞主要源于古希臘數學家歐幾裡得（Euclid），其核心含義與歐幾裡得建立的幾何體系及其所基于的公理和性質密切相關。以下是其詳細解釋：

1. 基本含義與起源：

   • 指代歐幾裡得本人： “Euclidean” 最直接的含義是指與古希臘數學家歐幾裡得相關的。歐幾裡得生活在約公元前300年的亞曆山大城，其著作《幾何原本》（Elements）是數學史上最具影響力的著作之一 。
   • 指代歐幾裡得幾何： 這是該詞最核心和最常見的用法。它特指歐幾裡得在《幾何原本》中系統化闡述的幾何體系，也稱為平面幾何或抛物幾何。這種幾何基于一組特定的公設（公理），其中最著名的是第五公設（平行公設），描述了我們在平坦空間（而非曲面）中直觀理解的幾何性質。

2. 核心特征（歐幾裡得幾何）：

   • 空間平坦性： 歐幾裡得幾何描述的是“平坦”的空間。在這種空間中，三角形的内角和恒等于180度，平行線永不相交，勾股定理成立，圓周長與直徑之比是常數π 。
   • 歐幾裡得距離： 在歐幾裡得空間中（例如我們熟悉的二維平面或三維空間），兩點之間的最短距離（直線距離）稱為歐幾裡得距離。對于二維平面上的兩點 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，其歐幾裡得距離 $d$ 的計算公式為： $$ d = sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y1)} $$ 在n維空間中，公式可推廣為 $d = sqrt{sum{i=1}^n (x_i - y_i)}$。
   • 公理化方法： 歐幾裡得幾何是公理化體系的典範，它從少數幾條自明的公理和定義出發，通過邏輯推理建立起整個幾何學大廈，深刻影響了後世科學的發展 。

3. 與非歐幾何的對比：

   • “Euclidean” 常作為“非歐幾何”（Non-Euclidean geometry）的對照概念出現。當數學家嘗試證明歐幾裡得第五公設（平行公設）時，發現如果改變這條公設（例如，假設過直線外一點可以作多條平行線或無平行線），可以建立邏輯自洽但性質迥異的新幾何體系，如雙曲幾何和橢圓幾何（例如球面幾何）。這些非歐幾何描述的是彎曲空間的性質。

4. 現代應用中的擴展含義：

   • 歐幾裡得空間： 在數學（尤其是線性代數、微積分）、物理學和計算機科學中，“歐幾裡得空間”通常指裝備了标準歐幾裡得距離（如上所述）和點積（内積）的有限維實向量空間 $mathbb{R}^n$（n維實數空間）。這是最符合我們物理空間直覺的數學模型 。
   • 歐幾裡得距離： 在數據科學、機器學習、信息檢索等領域，“歐幾裡得距離”是最常用的距離度量之一，用于衡量數據點之間的相似性或差異性 。
   • 歐幾裡得域/環： 在抽象代數中，也存在名為“歐幾裡得域”或“歐幾裡得環”的代數結構，其定義受到歐幾裡得算法（用于求最大公約數）的啟發 。

總結來說，“Euclidean”一詞的核心在于其與歐幾裡得及其建立的經典幾何體系的緊密聯繫，特指描述平坦空間、滿足特定公理（尤其是平行公設）的幾何性質、距離計算和空間概念。它既是數學史上的基石，也是現代數學和科學中廣泛應用的基礎模型。

參考來源：

1. Wikipedia: Euclid (關于歐幾裡得生平及《幾何原本》)
2. Encyclopedia Britannica: Euclidean geometry (關于歐幾裡得幾何的定義、公理及與非歐幾何的區别)
3. Stanford Encyclopedia of Philosophy: Euclidean Geometry (關于歐幾裡得幾何的哲學基礎及現代觀點)
4. Wolfram MathWorld: Euclidean Distance (關于歐幾裡得距離的數學定義)

網絡擴展資料

"Euclidean"（歐幾裡得的）是一個源自古希臘數學家歐幾裡得（Euclid）的術語，主要應用于數學、幾何學和相關領域。以下是其核心含義及延伸解釋：

1.基本定義

• 詞源：直接源自歐幾裡得的名字，他是公元前3世紀的數學家，著有《幾何原本》（Elements），系統化了幾何學公理體系。
• 核心意義：指代與歐幾裡得幾何學相關的概念，尤其是基于其五條公理（如“兩點确定一條直線”“所有直角相等”等）的幾何體系。

2.數學領域的應用

• 歐幾裡得幾何（Euclidean Geometry）
  研究平面和三維空間中點、線、面的性質，例如三角形内角和為180°、勾股定理等。與非歐幾何（如球面幾何、雙曲幾何）相對。

  • 示例：平行公設（第五公設）指出，過直線外一點有且僅有一條平行線。

• 歐幾裡得空間（Euclidean Space）
  指具有歐幾裡得度量的空間，通常表示為$mathbb{R}^n$（如$mathbb{R}$為平面，$mathbb{R}$為三維空間）。其距離公式為： $$ d(p, q) = sqrt{(q_1 - p_1) + (q_2 - p_2) + cdots + (q_n - p_n)} $$

3.計算機科學與數據分析

• 歐幾裡得距離（Euclidean Distance）
  用于衡量多維空間中兩點間的“直線距離”，是機器學習（如K近鄰算法）和圖像處理中的常用度量标準。
  • 應用場景：人臉識别中的特征相似度計算、聚類分析等。

4.其他延伸用法

• 物理學：在相對論中，“歐幾裡得時空”指通過虛時間坐标将時空轉換為四維歐幾裡得空間，用于簡化某些計算。
• 日常比喻：描述一種邏輯嚴密、基于公理化的思維方式（如“歐幾裡得式論證”）。

“Euclidean”的核心是圍繞歐幾裡得幾何體系展開，強調基于公理化的空間關系和度量。它在現代科學中的廣泛應用體現了其基礎性和普適性。如需進一步了解具體定理或公式，可參考《幾何原本》或線性代數教材。

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