Euclidean是什么意思，Euclidean的意思翻译、用法、同义词、例句

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Euclidean（欧几里得的） 一词主要源于古希腊数学家欧几里得（Euclid），其核心含义与欧几里得建立的几何体系及其所基于的公理和性质密切相关。以下是其详细解释：

1. 基本含义与起源：

   • 指代欧几里得本人： “Euclidean” 最直接的含义是指与古希腊数学家欧几里得相关的。欧几里得生活在约公元前300年的亚历山大城，其著作《几何原本》（Elements）是数学史上最具影响力的著作之一 。
   • 指代欧几里得几何： 这是该词最核心和最常见的用法。它特指欧几里得在《几何原本》中系统化阐述的几何体系，也称为平面几何或抛物几何。这种几何基于一组特定的公设（公理），其中最著名的是第五公设（平行公设），描述了我们在平坦空间（而非曲面）中直观理解的几何性质。

2. 核心特征（欧几里得几何）：

   • 空间平坦性： 欧几里得几何描述的是“平坦”的空间。在这种空间中，三角形的内角和恒等于180度，平行线永不相交，勾股定理成立，圆周长与直径之比是常数π 。
   • 欧几里得距离： 在欧几里得空间中（例如我们熟悉的二维平面或三维空间），两点之间的最短距离（直线距离）称为欧几里得距离。对于二维平面上的两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，其欧几里得距离 $d$ 的计算公式为： $$ d = sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y1)} $$ 在n维空间中，公式可推广为 $d = sqrt{sum{i=1}^n (x_i - y_i)}$。
   • 公理化方法： 欧几里得几何是公理化体系的典范，它从少数几条自明的公理和定义出发，通过逻辑推理建立起整个几何学大厦，深刻影响了后世科学的发展 。

3. 与非欧几何的对比：

   • “Euclidean” 常作为“非欧几何”（Non-Euclidean geometry）的对照概念出现。当数学家尝试证明欧几里得第五公设（平行公设）时，发现如果改变这条公设（例如，假设过直线外一点可以作多条平行线或无平行线），可以建立逻辑自洽但性质迥异的新几何体系，如双曲几何和椭圆几何（例如球面几何）。这些非欧几何描述的是弯曲空间的性质。

4. 现代应用中的扩展含义：

   • 欧几里得空间： 在数学（尤其是线性代数、微积分）、物理学和计算机科学中，“欧几里得空间”通常指装备了标准欧几里得距离（如上所述）和点积（内积）的有限维实向量空间 $mathbb{R}^n$（n维实数空间）。这是最符合我们物理空间直觉的数学模型 。
   • 欧几里得距离： 在数据科学、机器学习、信息检索等领域，“欧几里得距离”是最常用的距离度量之一，用于衡量数据点之间的相似性或差异性 。
   • 欧几里得域/环： 在抽象代数中，也存在名为“欧几里得域”或“欧几里得环”的代数结构，其定义受到欧几里得算法（用于求最大公约数）的启发 。

总结来说，“Euclidean”一词的核心在于其与欧几里得及其建立的经典几何体系的紧密联系，特指描述平坦空间、满足特定公理（尤其是平行公设）的几何性质、距离计算和空间概念。它既是数学史上的基石，也是现代数学和科学中广泛应用的基础模型。

参考来源：

1. Wikipedia: Euclid (关于欧几里得生平及《几何原本》)
2. Encyclopedia Britannica: Euclidean geometry (关于欧几里得几何的定义、公理及与非欧几何的区别)
3. Stanford Encyclopedia of Philosophy: Euclidean Geometry (关于欧几里得几何的哲学基础及现代观点)
4. Wolfram MathWorld: Euclidean Distance (关于欧几里得距离的数学定义)

网络扩展资料

"Euclidean"（欧几里得的）是一个源自古希腊数学家欧几里得（Euclid）的术语，主要应用于数学、几何学和相关领域。以下是其核心含义及延伸解释：

1.基本定义

• 词源：直接源自欧几里得的名字，他是公元前3世纪的数学家，著有《几何原本》（Elements），系统化了几何学公理体系。
• 核心意义：指代与欧几里得几何学相关的概念，尤其是基于其五条公理（如“两点确定一条直线”“所有直角相等”等）的几何体系。

2.数学领域的应用

• 欧几里得几何（Euclidean Geometry）
  研究平面和三维空间中点、线、面的性质，例如三角形内角和为180°、勾股定理等。与非欧几何（如球面几何、双曲几何）相对。

  • 示例：平行公设（第五公设）指出，过直线外一点有且仅有一条平行线。

• 欧几里得空间（Euclidean Space）
  指具有欧几里得度量的空间，通常表示为$mathbb{R}^n$（如$mathbb{R}$为平面，$mathbb{R}$为三维空间）。其距离公式为： $$ d(p, q) = sqrt{(q_1 - p_1) + (q_2 - p_2) + cdots + (q_n - p_n)} $$

3.计算机科学与数据分析

• 欧几里得距离（Euclidean Distance）
  用于衡量多维空间中两点间的“直线距离”，是机器学习（如K近邻算法）和图像处理中的常用度量标准。
  • 应用场景：人脸识别中的特征相似度计算、聚类分析等。

4.其他延伸用法

• 物理学：在相对论中，“欧几里得时空”指通过虚时间坐标将时空转换为四维欧几里得空间，用于简化某些计算。
• 日常比喻：描述一种逻辑严密、基于公理化的思维方式（如“欧几里得式论证”）。

“Euclidean”的核心是围绕欧几里得几何体系展开，强调基于公理化的空间关系和度量。它在现代科学中的广泛应用体现了其基础性和普适性。如需进一步了解具体定理或公式，可参考《几何原本》或线性代数教材。

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