endomorphism是什麼意思，endomorphism的意思翻譯、用法、同義詞、例句

endomorphism英标

英:/',endəʊ'mɔːfɪzəm/

常用詞典

例句

專業解析

Endomorphism（自同态） 是數學（尤其是代數和範疇論）中的一個核心概念，指的是一種特殊的映射（函數），其定義域和陪域是同一個數學結構，并且該映射保持了該結構的運算或性質。簡單來說，它是一個從某個結構映射到其自身的同态。

以下是其詳細解釋：

1. 核心定義：

   • 設S 是一個具有某種代數結構（如群、環、模、向量空間、代數等）的集合。
   • 一個endomorphism 是從S 到S 本身的一個映射（函數）f: S → S。
   • 這個映射f 必須是該結構上的一個同态（homomorphism）。這意味着f 必須“保持”或“兼容”定義在S 上的運算。
   • 例如：
     • 如果S 是一個群（運算為乘法 · ），則f 必須滿足：對于所有a, b ∈ S，有f(a · b) = f(a) · f(b)。
     • 如果S 是一個環（運算為加法 + 和乘法 · ），則f 必須同時滿足：對于所有a, b ∈ S，有f(a + b) = f(a) + f(b) 和f(a · b) = f(a) · f(b)。
     • 如果S 是一個向量空間（在域K 上），則f 必須滿足：對于所有a, b ∈ S 和所有标量c ∈ K，有f(a + b) = f(a) + f(b) 和f(c · a) = c · f(a)。
   • 來源參考：Springer Online Reference Works - Encyclopedia of Mathematics (基礎定義和同态要求)

2. 與同态的區别：

   • 同态（Homomorphism） 是一個更一般的概念，指在兩個可能不同的代數結構S 和T 之間保持運算的映射g: S → T。
   • 自同态（Endomorphism） 是同态的一個特例，其特殊之處在于定義域S 和陪域T 是同一個結構（即S = T）。所有自同态都是同态，但并非所有同态都是自同态（除非S = T）。
   • 來源參考：Wolfram MathWorld (強調自同态作為同态子類的特性)

3. 例子：

   • 線性變換： 在向量空間V 上，一個線性變換T: V → V 就是一個自同态（向量空間的自同态）。
   • 矩陣乘法： 一個n × n 方陣A 可以看作是在n 維向量空間Kⁿ 上的一個線性變換（x ↦ Ax），因此它代表了該向量空間的一個自同态。
   • 環上的乘法： 在一個環R 中，固定一個元素r，映射x ↦ r x（左乘）或 x ↦ x r（右乘）通常是環的自同态（如果環是交換環，則兩者相同）。
   • 恒等映射： 最簡單的自同态是恒等映射idₛ: S → S，它将每個元素映射到自身（idₛ(x) = x）。它總是保持任何結構。
   • 零映射： 如果結構允許（如在環或向量空間中），将所有元素映射到零元素（加法單位元）的映射x ↦ 0 也是一個自同态。
   • 來源參考：Wolfram MathWorld (提供具體例子)

4. 範疇論視角：

   • 在範疇論中，一個範疇由對象（Objects）和對象之間的态射（Morphisms）組成。
   • 對于一個範疇中的對象A，一個endomorphism 就是一個從A 到A 自身的态射（f: A → A）。
   • 所有從A 到A 的自同态的集合通常記作End(A) 或Hom(A, A)。這個集合本身往往具有豐富的代數結構（例如，在阿貝爾範疇中，End(A) 形成一個環）。
   • 來源參考：nLab (範疇論中對自同态的定義和讨論)

Endomorphism（自同态）本質上是定義在某個數學結構S 上，并且映射回S 自身，同時保持S 所有相關運算或性質的映射。它是同态概念在源結構和目标結構相同情況下的特例，在代數、線性代數、範疇論等數學分支中扮演着基礎角色。

網絡擴展資料

Endomorphism（自同态）是一個數學術語，主要用于描述某一結構到自身的同态映射。以下是詳細解釋：

數學定義

在抽象代數中，endomorphism 指某個數學結構（如群、環、向量空間、圖等）到其自身的同态映射，即保持該結構基本運算或關系的函數。

• 同态映射：需滿足對原結構運算的保持性。例如，對于群 ( G )，若映射 ( f: G to G ) 滿足 ( f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) )，則稱 ( f ) 為群 ( G ) 的自同态。
• 與 automorphism 的區别：自同态（endomorphism）不要求是雙射（即一一對應），而自同構（automorphism）需滿足雙射條件。

常見應用領域

1. 圖論
   圖的自同态半群（endomorphism semigroup of a graph）由所有保持圖結構的映射組成，例如頂點鄰接關系的保持。

2. 代數結構
   在群或環中，自同态的集合可形成自同态幺半群（endomorphism monoid），其運算為映射的複合。例如，加法群的自同态可能涉及直和分解的性質。

3. 線性代數
   向量空間的自同态是線性變換，所有自同态構成一個環（稱為自同态環），例如矩陣環。

擴展說明

• 術語來源：前綴“endo-”意為“内部”，即映射發生在同一結構内部。
• 生物學中的混淆：注意與endomorph（内胚層體型，指圓胖體質）區分，後者屬于生物學領域。

如需進一步了解具體結構的自同态性質，可參考相關數學文獻或圖論研究。

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