endomorphism是什么意思，endomorphism的意思翻译、用法、同义词、例句

endomorphism英标

英:/',endəʊ'mɔːfɪzəm/

常用词典

例句

专业解析

Endomorphism（自同态） 是数学（尤其是代数和范畴论）中的一个核心概念，指的是一种特殊的映射（函数），其定义域和陪域是同一个数学结构，并且该映射保持了该结构的运算或性质。简单来说，它是一个从某个结构映射到其自身的同态。

以下是其详细解释：

1. 核心定义：

   • 设S 是一个具有某种代数结构（如群、环、模、向量空间、代数等）的集合。
   • 一个endomorphism 是从S 到S 本身的一个映射（函数）f: S → S。
   • 这个映射f 必须是该结构上的一个同态（homomorphism）。这意味着f 必须“保持”或“兼容”定义在S 上的运算。
   • 例如：
     • 如果S 是一个群（运算为乘法 · ），则f 必须满足：对于所有a, b ∈ S，有f(a · b) = f(a) · f(b)。
     • 如果S 是一个环（运算为加法 + 和乘法 · ），则f 必须同时满足：对于所有a, b ∈ S，有f(a + b) = f(a) + f(b) 和f(a · b) = f(a) · f(b)。
     • 如果S 是一个向量空间（在域K 上），则f 必须满足：对于所有a, b ∈ S 和所有标量c ∈ K，有f(a + b) = f(a) + f(b) 和f(c · a) = c · f(a)。
   • 来源参考：Springer Online Reference Works - Encyclopedia of Mathematics (基础定义和同态要求)

2. 与同态的区别：

   • 同态（Homomorphism） 是一个更一般的概念，指在两个可能不同的代数结构S 和T 之间保持运算的映射g: S → T。
   • 自同态（Endomorphism） 是同态的一个特例，其特殊之处在于定义域S 和陪域T 是同一个结构（即S = T）。所有自同态都是同态，但并非所有同态都是自同态（除非S = T）。
   • 来源参考：Wolfram MathWorld (强调自同态作为同态子类的特性)

3. 例子：

   • 线性变换： 在向量空间V 上，一个线性变换T: V → V 就是一个自同态（向量空间的自同态）。
   • 矩阵乘法： 一个n × n 方阵A 可以看作是在n 维向量空间Kⁿ 上的一个线性变换（x ↦ Ax），因此它代表了该向量空间的一个自同态。
   • 环上的乘法： 在一个环R 中，固定一个元素r，映射x ↦ r x（左乘）或 x ↦ x r（右乘）通常是环的自同态（如果环是交换环，则两者相同）。
   • 恒等映射： 最简单的自同态是恒等映射idₛ: S → S，它将每个元素映射到自身（idₛ(x) = x）。它总是保持任何结构。
   • 零映射： 如果结构允许（如在环或向量空间中），将所有元素映射到零元素（加法单位元）的映射x ↦ 0 也是一个自同态。
   • 来源参考：Wolfram MathWorld (提供具体例子)

4. 范畴论视角：

   • 在范畴论中，一个范畴由对象（Objects）和对象之间的态射（Morphisms）组成。
   • 对于一个范畴中的对象A，一个endomorphism 就是一个从A 到A 自身的态射（f: A → A）。
   • 所有从A 到A 的自同态的集合通常记作End(A) 或Hom(A, A)。这个集合本身往往具有丰富的代数结构（例如，在阿贝尔范畴中，End(A) 形成一个环）。
   • 来源参考：nLab (范畴论中对自同态的定义和讨论)

Endomorphism（自同态）本质上是定义在某个数学结构S 上，并且映射回S 自身，同时保持S 所有相关运算或性质的映射。它是同态概念在源结构和目标结构相同情况下的特例，在代数、线性代数、范畴论等数学分支中扮演着基础角色。

网络扩展资料

Endomorphism（自同态）是一个数学术语，主要用于描述某一结构到自身的同态映射。以下是详细解释：

数学定义

在抽象代数中，endomorphism 指某个数学结构（如群、环、向量空间、图等）到其自身的同态映射，即保持该结构基本运算或关系的函数。

• 同态映射：需满足对原结构运算的保持性。例如，对于群 ( G )，若映射 ( f: G to G ) 满足 ( f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) )，则称 ( f ) 为群 ( G ) 的自同态。
• 与 automorphism 的区别：自同态（endomorphism）不要求是双射（即一一对应），而自同构（automorphism）需满足双射条件。

常见应用领域

1. 图论
   图的自同态半群（endomorphism semigroup of a graph）由所有保持图结构的映射组成，例如顶点邻接关系的保持。

2. 代数结构
   在群或环中，自同态的集合可形成自同态幺半群（endomorphism monoid），其运算为映射的复合。例如，加法群的自同态可能涉及直和分解的性质。

3. 线性代数
   向量空间的自同态是线性变换，所有自同态构成一个环（称为自同态环），例如矩阵环。

扩展说明

• 术语来源：前缀“endo-”意为“内部”，即映射发生在同一结构内部。
• 生物学中的混淆：注意与endomorph（内胚层体型，指圆胖体质）区分，后者属于生物学领域。

如需进一步了解具体结构的自同态性质，可参考相关数学文献或图论研究。

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