等价关系英文解释翻译、等价关系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 equivalence relation; equivalent relation
【经】 equivalent relation

分词翻译：

价的英语翻译：

price; value
【医】 adicity; valence; valency; value
【经】 price

关系的英语翻译：

relation; relationship; appertain; bearing; concern; connection; term; tie
【计】 relation
【医】 rapport; reference; relation; relationship

专业解析

在数学和逻辑学中，等价关系（Equivalence Relation）指在某个集合上定义的一种特殊二元关系，它同时满足自反性（Reflexivity）、对称性（Symmetry）和传递性（Transitivity）三个基本性质。这种关系将集合中的元素划分为互不相交的等价类，使得同一类内的元素彼此等价，而不同类的元素则不等价。

核心性质（基于公理化定义）

自反性 (Reflexivity)
集合中的任意元素与其自身等价，即对所有元素 ( a )，满足 ( a sim a )。

数学表达：

$$ forall a in S, quad a sim a $$
对称性 (Symmetry)
若元素 ( a ) 与 ( b ) 等价，则 ( b ) 与 ( a ) 也等价，即 ( a sim b ) 蕴含 ( b sim a )。

数学表达：

$$ forall a, b in S, quad a sim b implies b sim a $$
传递性 (Transitivity)
若 ( a ) 与 ( b ) 等价，且 ( b ) 与 ( c ) 等价，则 ( a ) 与 ( c ) 等价，即 ( a sim b ) 且 ( b sim c ) 蕴含 ( a sim c )。

数学表达：

$$ forall a, b, c in S, quad (a sim b land b sim c) implies a sim c $$

等价类与划分

等价类（Equivalence Class）：所有与给定元素 ( a ) 等价的元素构成的子集，记为 ([a])。
集合划分（Partition）：等价关系将原集合分割为互不相交的等价类，且所有等价类的并集等于原集合。

典型示例

整数模 ( n ) 同余
整数集 ( mathbb{Z} ) 上定义关系 ( a equiv b pmod{n} )（当 ( n ) 整除 ( a-b ) 时成立），是等价关系。其等价类为模 ( n ) 剩余类（如 ( n=3 ) 时分为 , , )）。

来源参考：中科院数学与系统科学研究院《基础数学概念》。
几何图形的全等
平面中所有三角形构成的集合上，“全等”关系（可通过刚体变换重合）满足等价关系的三性质。

来源参考：Wolfram MathWorld "Equivalence Relation" 词条。
集合的等势
若两集合存在双射函数，则称其等势（如 (|mathbb{N}| = |mathbb{Z}|)）。该关系是等价关系，等价类为基数相同的集合。

来源参考：Springer《数学百科全书》"Cardinality" 条目。

汉英术语对照

中文术语	英文术语
等价关系	Equivalence Relation
自反性	Reflexivity
对称性	Symmetry
传递性	Transitivity
等价类	Equivalence Class
集合划分	Partition of a Set

应用领域

等价关系是抽象代数、拓扑学、离散数学的核心工具，用于构建商空间（如拓扑学中的商拓扑）、定义群同构（如群作用于集合的轨道）等。在计算机科学中，它支撑数据类型抽象（如编程语言的类型等价）和自动机理论的状态等价。

来源参考：中文维基百科“等价关系”词条（数学部分）。

网络扩展解释

等价关系是数学中用于描述元素间“等同性”的一种重要关系，需满足以下三个基本性质：

1. 基本定义与性质

自反性：集合中任意元素与自身等价，即对任意元素 (a)，有 (a sim a)。
对称性：若 (a) 与 (b) 等价，则 (b) 与 (a) 也等价，即 (a sim b implies b sim a)。
传递性：若 (a sim b) 且 (b sim c)，则 (a sim c)。

2. 经典例子

相等关系：所有数或对象与自身相等，是最简单的等价关系。
模同余：例如整数模5同余（(a equiv b(text{mod}5))），当且仅当 (a) 和 (b) 除以5的余数相同。
几何图形全等/相似：三角形全等或相似时，满足等价关系的三性质。

3. 等价类与划分

等价类：集合中所有与某元素 (a) 等价的元素构成子集 ([a] = {x mid x sim a})。
划分：等价关系将原集合划分为互不相交的等价类，所有等价类的并集为原集合。

4. 应用场景

数学分类：通过等价类将复杂集合简化为更易处理的结构（如商集、商空间）。
计算机科学：定义对象等价性（如编程语言中的 equals() 方法需满足自反、对称、传递性）。

等价关系通过严格的数学性质，为分类和抽象提供了通用工具，是代数、拓扑等领域的基础概念。