在數學和邏輯學中，等價關系（Equivalence Relation） 指在某個集合上定義的一種特殊二元關系，它同時滿足自反性（Reflexivity）、對稱性（Symmetry）和傳遞性（Transitivity） 三個基本性質。這種關系将集合中的元素劃分為互不相交的等價類，使得同一類内的元素彼此等價，而不同類的元素則不等價。
自反性 (Reflexivity)
集合中的任意元素與其自身等價，即對所有元素 ( a )，滿足 ( a sim a )。
數學表達：
$$ forall a in S, quad a sim a $$
對稱性 (Symmetry)
若元素 ( a ) 與 ( b ) 等價，則 ( b ) 與 ( a ) 也等價，即 ( a sim b ) 蘊含 ( b sim a )。
數學表達：
$$ forall a, b in S, quad a sim b implies b sim a $$
傳遞性 (Transitivity)
若 ( a ) 與 ( b ) 等價，且 ( b ) 與 ( c ) 等價，則 ( a ) 與 ( c ) 等價，即 ( a sim b ) 且 ( b sim c ) 蘊含 ( a sim c )。
數學表達：
$$ forall a, b, c in S, quad (a sim b land b sim c) implies a sim c $$
整數模 ( n ) 同餘
整數集 ( mathbb{Z} ) 上定義關系 ( a equiv b pmod{n} )（當 ( n ) 整除 ( a-b ) 時成立），是等價關系。其等價類為模 ( n ) 剩餘類（如 ( n=3 ) 時分為 , , )）。
來源參考：中科院數學與系統科學研究院《基礎數學概念》。
幾何圖形的全等
平面中所有三角形構成的集合上，“全等”關系（可通過剛體變換重合）滿足等價關系的三性質。
來源參考：Wolfram MathWorld "Equivalence Relation" 詞條。
集合的等勢
若兩集合存在雙射函數，則稱其等勢（如 (|mathbb{N}| = |mathbb{Z}|)）。該關系是等價關系，等價類為基數相同的集合。
來源參考：Springer《數學百科全書》"Cardinality" 條目。
| 中文術語 | 英文術語 |
|---|---|
| 等價關系 | Equivalence Relation |
| 自反性 | Reflexivity |
| 對稱性 | Symmetry |
| 傳遞性 | Transitivity |
| 等價類 | Equivalence Class |
| 集合劃分 | Partition of a Set |
等價關系是抽象代數、拓撲學、離散數學的核心工具，用于構建商空間（如拓撲學中的商拓撲）、定義群同構（如群作用于集合的軌道）等。在計算機科學中，它支撐數據類型抽象（如編程語言的類型等價）和自動機理論的狀态等價。
來源參考：中文維基百科“等價關系”詞條（數學部分）。
等價關系是數學中用于描述元素間“等同性”的一種重要關系，需滿足以下三個基本性質：
equals() 方法需滿足自反、對稱、傳遞性）。等價關系通過嚴格的數學性質，為分類和抽象提供了通用工具，是代數、拓撲等領域的基礎概念。
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