单值函数英文解释翻译、单值函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 uniform function

分词翻译：

单值的英语翻译：

【计】 SV

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

单值函数（Single-Valued Function）是数学分析中的核心概念，指定义域中的每个输入值都唯一对应一个输出值的函数。以下是其汉英词典角度的详细解释：

一、中文定义

根据《数学辞海》，“单值”指一个自变量仅对应一个因变量。若函数 ( f ) 满足：对定义域内任意 ( x )，存在唯一的 ( y ) 使得 ( y = f(x) )，则称 ( f ) 为单值函数。《中国大百科全书》进一步明确，函数的本质要求是单值性，即排除多值对应关系（如平方根函数未限定分支时）。

二、英文定义

《Oxford Dictionary of Mathematics》定义单值函数为：

"A function for which exactly one value of the dependent variable corresponds to each value of the independent variable."
（每个自变量仅精确对应一个因变量值的函数）。

Wolfram MathWorld 强调其与多值函数的区别：

"A single-valued function provides a unique output for every input."

（单值函数为每个输入提供唯一输出）。

三、关键特征

唯一映射性
若 ( x_1 = x_2 )，则必有 ( f(x_1) = f(x_2) )，体现输入的确定性输出。

值域限定
函数值域是像集的子集，但像集中的元素未必有原像（如 ( f(x)=x ) 的值域为 ([0,+infty))，但负数无原像）。

与多值函数的区别
多值函数（如 ( y = pmsqrt{x} )）允许一个输入对应多个输出，而单值函数通过限制定义域（如取主分支 ( y=sqrt{x} )）实现单值化。

四、数学表达

单值函数的严格定义为：

设 ( X ) 和 ( Y ) 为集合，若映射 ( f: X to Y ) 满足： $$ forall x in X,exists!y in Ytext{ 使得 }y = f(x) $$ （其中 ( exists! ) 表示“存在唯一”）。

五、典型示例

单值函数： ( f(x) = 2x + 1 )（线性函数），( g(x) = sin x )（三角函数）。
非单值关系： ( y = x )（需限定 ( y geq 0 ) 才构成单值函数）。

权威参考来源：

《数学辞海》（中国科学技术出版社）
《中国大百科全书·数学卷》
《Oxford Dictionary of Mathematics》（牛津大学出版社）
Wolfram MathWorld（Wolfram Research学术平台）

网络扩展解释

单值函数是数学中函数的一种基本类型，其核心特征是：在定义域的每一个输入值（自变量）唯一对应一个输出值（因变量）。以下是详细解释：

1.定义与核心特性

定义：若对于定义域内的任意自变量 ( x )，函数 ( f(x) ) 仅能通过某种确定的规则映射到唯一的因变量 ( y )，则称 ( y = f(x) ) 为单值函数。
特性：
- 满足“垂直线测试”：在平面直角坐标系中，任何垂直于 ( x )-轴的直线最多与函数图像相交一次。
- 强调“确定性”：每个输入对应明确的、唯一的输出。

2.与多值函数的区别

多值函数：一个输入可能对应多个输出。例如：
- 圆的方程 ( x + y = r ) 中，一个 ( x ) 值可能对应两个 ( y ) 值（如 ( y = sqrt{r - x} ) 和 ( y = -sqrt{r - x} )）。
- 复变函数中的对数函数 ( ln(z) )（复数范围内有无穷多值）。
单值函数强调唯一性，而多值函数需通过限制定义域或引入分支切割（如复变函数）转化为单值形式。

3.常见例子

基础函数：
- 线性函数 ( y = kx + b )（每个 ( x ) 对应唯一的 ( y )）。
- 二次函数 ( y = x )（虽然输出对称，但每个 ( x ) 仍对应唯一的 ( y )）。
特殊函数：
- 实数范围的平方根函数 ( y = sqrt{x} )（默认取非负根，保证单值性）。
- 三角函数如 ( y = sin x )、( y = cos x )。

4.应用与意义

数学分析：单值性是函数可微、可积的重要前提。
工程与科学：实际测量中，物理量之间的关系通常需用单值函数描述（如时间-位移、电压-电流）。
计算机科学：程序中的函数设计必须满足单值性，以确保结果的确定性。

5.注意事项

避免混淆：单值函数 ≠ 单调函数（后者关注函数的增减趋势）。
复数扩展：在复变函数中，原本单值的实函数可能变为多值（如平方根函数），需通过限制定义域或引入黎曼曲面处理。

总结来说，单值函数是数学中最基础且应用最广泛的函数类型，其核心在于输入与输出之间的一一对应关系，这种特性为数学建模和实际问题分析提供了确定性基础。