独立随机变量英文解释翻译、独立随机变量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 independent random variable

分词翻译：

独立的英语翻译：

independence; stand alone
【经】 independence

随机变量的英语翻译：

【计】 random variable; stochastic variable
【化】 random variable
【经】 random variable

专业解析

在概率论与统计学中，独立随机变量（Independent Random Variables）指两个或多个随机变量之间不存在统计依赖关系的现象。具体而言，若随机变量$X$与$Y$满足以下条件，则称为相互独立： $$ P(X leq x, Y leq y) = P(X leq x) cdot P(Y leq y) $$ 对所有$x,y$成立，其中$P$表示概率分布函数。

核心特性与权威定义

统计独立性：独立随机变量的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积。例如，若$X$和$Y$独立，则联合概率密度$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) cdot f_Y(y)$（参考：Wolfram MathWorld, "Independent Random Variables"）。
实际应用：在通信系统中，独立噪声信号常被建模为独立随机变量，用于分析信道容量（参考：MIT OpenCourseWare, "Probability for Electrical Engineers"）。
数学验证方法：协方差为零是独立性的必要条件（但非充分条件），即$text{Cov}(X,Y) = 0$。更严格的判定需通过概率密度函数或分布函数的乘积形式验证（参考：Stanford University, "Probability Theory Lecture Notes"）。

示例说明

假设抛一枚硬币（随机变量$X$）和掷一颗骰子（随机变量$Y$），两者的结果互不影响，因此$X$与$Y$独立。此时，$P(X=text{正面}, Y=6) = P(X=text{正面}) cdot P(Y=6) = 0.5 times frac{1}{6}$（参考：Harvard Stat 110, "Probability and Independence"）。

网络扩展解释

独立随机变量是概率论和统计学中的核心概念，其含义和性质如下：

定义

两个随机变量( X )和( Y )称为独立的，当且仅当它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积：

离散型：对所有( x, y )，满足
$$ P(X = x, Y = y) = P(X = x) cdot P(Y = y) $$
连续型：对所有( x, y )，联合概率密度函数满足
$$ f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) cdot f_Y(y) $$

直观意义

独立性意味着一个变量的取值不影响另一个变量的概率分布。例如：

抛一枚硬币（结果( X )）和掷一颗骰子（结果( Y )）是独立的，因为硬币的正反不会改变骰子的点数概率。
若( X )表示今日降雨量，( Y )表示明日股票价格，两者可能不独立（如降雨影响经济行为）。

重要性质

期望可拆分：若( X )和( Y )独立，则
$$ E[XY] = E[X] cdot E[Y] $$
方差可加性：独立时，
$$ text{Var}(X + Y) = text{Var}(X) + text{Var}(Y) $$
协方差为零：独立变量一定不相关（但反之不成立）。

应用场景

统计建模：例如线性回归假设误差项与自变量独立。
概率计算：独立条件下可简化复杂事件的联合概率计算。
大数定律：依赖独立同分布假设推导样本均值的收敛性。

与其他概念的区别

不相关：仅要求协方差为零，但独立性更强。
条件独立：在给定第三个变量时独立（如贝叶斯网络中的依赖关系）。

若需进一步了解独立性的数学证明或实际案例，建议参考概率论教材（如《概率导论》）或相关课程讲义。