零空间英文解释翻译、零空间的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 null space

分词翻译：

零的英语翻译：

zero; nought; fractional; nil; nothing; wither and fall
【计】 Z; zero
【医】 zero

空间的英语翻译：

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【医】 keno-; space

专业解析

在数学和工程领域，"零空间"（Null Space）是一个核心概念，其汉英定义及相关解释如下：

一、汉英定义

中文术语：零空间（Líng Kōngjiān）
英文术语：Null Space（或Kernel）
定义：对于矩阵 ( A )，其零空间是所有满足方程 ( Amathbf{x} = mathbf{0} ) 的解向量 (mathbf{x}) 构成的集合，其中 (mathbf{0}) 表示零向量。

二、数学表达与性质

数学形式：
若 ( A ) 是 ( m times n ) 矩阵，则零空间 ( N(A) ) 定义为：

$$ N(A) = { mathbf{x} in mathbb{R}^n mid Amathbf{x} = mathbf{0} } $$

子空间性质：
零空间是 (mathbb{R}^n) 的子空间，满足向量加法和数乘封闭性。

维数与秩的关系：
根据秩-零化度定理：

$$ dim(N(A)) + rank(A) = n $$ 其中 (dim(N(A))) 称为矩阵的零化度（Nullity）。

三、工程应用场景

线性系统求解：
在电路分析中，零空间解对应系统自由变量，反映电路中的冗余自由度（如节点电压的基准选择）。

控制理论：
描述系统状态方程 ( dot{mathbf{x}} = Amathbf{x} ) 的平衡点稳定性，零空间向量表征非扰动稳态解。

信号处理：
在压缩感知中，零空间性质用于保证信号稀疏重构的唯一性。

四、权威参考来源

线性代数教材：
Gilbert Strang 在《Introduction to Linear Algebra》中强调零空间作为矩阵"解空间"的核心地位，并关联其与列空间的正交补关系（MIT OpenCourseWare 教材）。

工程数学手册：
《Advanced Engineering Mathematics》（Erwin Kreyszig 著）将零空间应用于微分方程组解的结构分析（Wiley 出版社）。

学术论文：
在 IEEE 期刊中，零空间投影被广泛用于干扰抑制算法设计，例如多天线通信中的波束成形优化（IEEE Xplore 文献库）。

五、术语辨析

与核空间的等价性：
在泛函分析中，"核"（Kernel）是零空间在算子理论中的推广，二者在有限维空间中同义。

区别于左零空间：
左零空间定义为 ( A^T ) 的零空间，满足 ( mathbf{y}^T A = mathbf{0}^T )，与行空间正交。

此解释融合了数学定义、工程应用及权威文献依据，符合术语解释的专业性要求。

网络扩展解释

零空间（Null Space）是线性代数中的重要概念，具体解释如下：

定义

零空间指矩阵( A )对应的齐次线性方程组( Amathbf{x} = mathbf{0} )的所有解向量构成的空间，也称为核空间（Kernel）。数学表达式为： $$ operatorname{Null}(A) = { mathbf{v} in V: Amathbf{v} = mathbf{0} } $$

核心性质

子空间特性
零空间是向量空间的子空间，满足加法和数乘封闭性。例如，若( mathbf{v}_1, mathbf{v}_2 in operatorname{Null}(A) )，则( mathbf{v}_1 + mathbf{v}_2 )和( cmathbf{v}_1 )（( c )为标量）也属于零空间。
维度与秩的关系
根据秩-零化度定理，矩阵的秩（列空间的维度）与零空间的维度之和等于矩阵的列数，即： $$ operatorname{rank}(A) + operatorname{nullity}(A) = n $$

示例

考虑矩阵( A = begin{bmatrix}1 & 23 & 6end{bmatrix} )，其对应的方程为： $$ x + 2y = 0 3x + 6y = 0 $$ 解为( x = -2y )，零空间是所有形如( begin{bmatrix}-2ttend{bmatrix} )（( t in mathbb{R} )）的向量，构成一条过原点的直线。

物理意义

在工程中，零空间有实际应用。例如，机械臂的雅可比矩阵零空间对应关节速度使末端保持静止的情况。即，当关节速度位于零空间时，末端执行器不会移动。

与非标准分析中的“零空间”区别

需注意，部分非主流理论（如）提出“零空间是宇宙起源的数学抽象”，但这属于非标准分析范畴，与线性代数中的定义无关。

如果需要进一步了解矩阵的列空间或具体计算方法，可参考线性代数教材或权威资料。