交错级数定理英文解释翻译、交错级数定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 alternating series

crisscross; interlace; interlock; intersect; stagger
【计】 interlace; interlacing; interleave; interleaving

progression; series
【经】 progression

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

交错级数定理（Alternating Series Test）是数学分析中判定交错级数收敛性的重要工具，其核心内容可归纳如下：

一、定理定义对于形如$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1}an$或$sum{n=1}^infty (-1)^n a_n$的交错级数，若满足：

二、应用条件解析

单调性验证：需证明$a_{n+1}/an leq 1$，例如级数$sum{n=1}^infty frac{(-1)^n}{n}$中，$frac{1}{n+1} < frac{1}{n}$明显成立
极限归零：当$an=frac{1}{n^p}$时，要求$p>0$才能满足$lim{ntoinfty}a_n=0$（参考：Khan Academy, Alternating series test）

三、典型应用案例以$sum_{n=1}^infty frac{(-1)^n}{sqrt{n}}$为例：

四、定理局限性该定理仅判定收敛性，不能：

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交错级数定理（又称莱布尼茨判别法）是判断一类特殊级数收敛性的重要工具，适用于正负项交替出现的级数。其核心内容如下：

若交错级数形如： $$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} an quad text{或} quad sum{n=1}^infty (-1)^n a_n$$ 满足以下两个条件：

则该交错级数收敛。

适用范围
仅适用于正负交替的级数（如 $1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots$）。若级数全为正项或全为负项，需改用其他判别法（如比较判别法、比值判别法等）。
条件必要性
- 单调性不可省略：若仅满足 $lim_{n to infty} a_n = 0$ 但 ${a_n}$ 不单调，级数可能发散。例如：
  $$1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{2} + frac{1}{5} - frac{1}{3} + cdots$$
  虽然通项趋于零，但因不单调，级数发散。
- 极限为零不可省略：若 $lim_{n to infty} a_n eq 0$，级数必然发散（由级数收敛的必要条件可知）。
余项估计
若级数收敛于 $S$，其第 $n$ 项后的余项 $R_n$ 满足：
$$|Rn| leq a{n+1}$$
即余项的绝对值不超过被舍弃的第一项的绝对值。

交错调和级数：
$$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} frac{1}{n} = 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots$$
满足 $a_n = frac{1}{n}$ 单调递减且趋于零，故收敛（其和为 $ln 2$）。
发散反例：
$$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} frac{1}{sqrt{n}}$$
虽然通项趋于零，但 $frac{1}{sqrt{n}}$ 的单调性仅从 $n=1$ 开始成立，级数仍收敛（因定理允许从某一项开始单调）。

交错级数定理是条件收敛的典型工具，即级数收敛但非绝对收敛（如 $sum (-1)^n frac{1}{n}$ 收敛，但 $sum frac{1}{n}$ 发散）。
若级数绝对收敛（如 $sum (-1)^n frac{1}{n}$），可直接用绝对收敛性判定，无需此定理。

交错级数定理通过单调性和极限为零两个条件，为交替变号的级数提供了简洁的收敛判据，同时给出了余项估计方法。应用时需特别注意条件的完整性，避免误判。