交錯級數定理英文解釋翻譯、交錯級數定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 alternating series

crisscross; interlace; interlock; intersect; stagger
【計】 interlace; interlacing; interleave; interleaving

progression; series
【經】 progression

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

交錯級數定理（Alternating Series Test）是數學分析中判定交錯級數收斂性的重要工具，其核心内容可歸納如下：

一、定理定義對于形如$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1}an$或$sum{n=1}^infty (-1)^n a_n$的交錯級數，若滿足：

二、應用條件解析

單調性驗證：需證明$a_{n+1}/an leq 1$，例如級數$sum{n=1}^infty frac{(-1)^n}{n}$中，$frac{1}{n+1} < frac{1}{n}$明顯成立
極限歸零：當$an=frac{1}{n^p}$時，要求$p>0$才能滿足$lim{ntoinfty}a_n=0$（參考：Khan Academy, Alternating series test）

三、典型應用案例以$sum_{n=1}^infty frac{(-1)^n}{sqrt{n}}$為例：

四、定理局限性該定理僅判定收斂性，不能：

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交錯級數定理（又稱萊布尼茨判别法）是判斷一類特殊級數收斂性的重要工具，適用于正負項交替出現的級數。其核心内容如下：

若交錯級數形如： $$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} an quad text{或} quad sum{n=1}^infty (-1)^n a_n$$ 滿足以下兩個條件：

則該交錯級數收斂。

適用範圍
僅適用于正負交替的級數（如 $1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots$）。若級數全為正項或全為負項，需改用其他判别法（如比較判别法、比值判别法等）。
條件必要性
- 單調性不可省略：若僅滿足 $lim_{n to infty} a_n = 0$ 但 ${a_n}$ 不單調，級數可能發散。例如：
  $$1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{2} + frac{1}{5} - frac{1}{3} + cdots$$
  雖然通項趨于零，但因不單調，級數發散。
- 極限為零不可省略：若 $lim_{n to infty} a_n eq 0$，級數必然發散（由級數收斂的必要條件可知）。
餘項估計
若級數收斂于 $S$，其第 $n$ 項後的餘項 $R_n$ 滿足：
$$|Rn| leq a{n+1}$$
即餘項的絕對值不超過被舍棄的第一項的絕對值。

交錯調和級數：
$$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} frac{1}{n} = 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots$$
滿足 $a_n = frac{1}{n}$ 單調遞減且趨于零，故收斂（其和為 $ln 2$）。
發散反例：
$$sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1} frac{1}{sqrt{n}}$$
雖然通項趨于零，但 $frac{1}{sqrt{n}}$ 的單調性僅從 $n=1$ 開始成立，級數仍收斂（因定理允許從某一項開始單調）。

交錯級數定理是條件收斂的典型工具，即級數收斂但非絕對收斂（如 $sum (-1)^n frac{1}{n}$ 收斂，但 $sum frac{1}{n}$ 發散）。
若級數絕對收斂（如 $sum (-1)^n frac{1}{n}$），可直接用絕對收斂性判定，無需此定理。

交錯級數定理通過單調性和極限為零兩個條件，為交替變號的級數提供了簡潔的收斂判據，同時給出了餘項估計方法。應用時需特别注意條件的完整性，避免誤判。