渐近展开英文解释翻译、渐近展开的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 asymptotic expansion

分词翻译：

渐近的英语翻译：

【计】 asymptotically

展开的英语翻译：

spread; unfold; deploy; evolve; open; carry out; splay; stream
【计】 deployment; expand; spread
【化】 development

专业解析

在汉英词典语境下，“渐近展开”（asymptotic expansion）指一种用于描述函数在特定极限条件下近似行为的数学工具。其英文对应为“asymptotic expansion”或“asymptotic series”，定义为：当自变量趋近于某一点（如无穷大）时，函数可表示为一系列已知函数的线性组合，且该级数在特定误差范围内逼近原函数。

数学表达式与核心特征

渐近展开通常表示为： $$ f(x) sim sum_{n=0}^infty a_n phi_n(x) quad (x to x_0) $$ 其中$phin(x)$为渐近序列，满足$phi{n+1}(x)=o(phi_n(x))$。例如，斯特林公式（Stirling's formula）中，伽马函数的渐近展开式为： $$ Gamma(z) sim z^{z}e^{-z}sqrt{frac{2pi}{z}}left(1+frac{1}{12z}+cdotsright) quad (|z|toinfty) $$

应用场景

物理学：量子力学中的微扰理论依赖渐近展开分析粒子散射行为。
工程学：流体力学边界层问题通过渐近匹配法简化计算。
计算机科学：算法复杂度分析中，大$O$符号的推导本质是渐近展开思想。

与收敛级数的区别

渐近展开不要求级数收敛，而是强调部分和与目标函数的误差在极限条件下趋近于零。例如，指数积分函数$E_1(x)$的渐近展开在$xtoinfty$时发散，但有限项截断仍能提供高精度近似值。

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网络扩展解释

渐近展开（Asymptotic Expansion）是数学分析中用于描述函数在特定极限点（如自变量趋于无穷大或某一点）附近近似行为的工具。以下是详细解释：

1.基本定义

渐近展开被定义为一个函数级数（通常是柯西发散的），其部分和能在特定极限下为原函数提供有效的近似。设渐近序列${phi_n(z)}$在$z to z0$时满足$phi{n+1}(z) = o(phin(z))$，则函数$f(z)$的渐近展开可表示为： $$ f(z) sim sum{n=0}^infty a_n phi_n(z) quad (z to z0), $$ 其中对任意正整数$N$，有： $$ f(z) = sum{n=0}^N a_n phi_n(z) + o(phi_N(z)). $$

2.与收敛级数的区别

收敛级数展开（如泰勒级数）：在某个区域内绝对收敛，能精确表示函数，例如幂级数、傅里叶级数。
渐近展开：级数本身可能发散，但部分和在特定极限下能给出有效近似。例如，斯特林公式$n! sim sqrt{2pi n} (n/e)^n$是一个渐近展开，尽管级数发散，但在$n to infty$时近似效果极佳。

3.核心特点

局部有效性：仅在自变量趋近某一点（如$z to 0$或$z to infty$）时适用。
唯一性与系数计算：在给定渐近序列${phi_n(z)}$的条件下，展开系数$a_n$可通过递推公式唯一确定。

4.应用领域

特殊函数分析：如伽马函数、贝塞尔函数的渐进行为研究。
微分方程与积分方程：求解奇异摄动问题或边界层问题。
物理与工程：用于量子力学、流体力学中的近似计算。

5.与“渐进”的语义区分

渐近（Asymptotic）：描述逐渐趋近某极限的过程，如“渐近展开”。
渐进（Gradual）：指逐步推进的变化，如“循序渐进”。

渐近展开通过发散级数提供了一种高效的近似方法，特别适用于传统收敛级数无法处理的极限场景。其价值体现在对复杂函数行为的简化描述中，广泛应用于理论研究和工程计算。

如需进一步了解数学推导或具体案例，可参考搜狗百科或数学分析专著。