漸近展開英文解釋翻譯、漸近展開的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 asymptotic expansion

分詞翻譯：

漸近的英語翻譯：

【計】 asymptotically

展開的英語翻譯：

spread; unfold; deploy; evolve; open; carry out; splay; stream
【計】 deployment; expand; spread
【化】 development

專業解析

在漢英詞典語境下，“漸近展開”（asymptotic expansion）指一種用于描述函數在特定極限條件下近似行為的數學工具。其英文對應為“asymptotic expansion”或“asymptotic series”，定義為：當自變量趨近于某一點（如無窮大）時，函數可表示為一系列已知函數的線性組合，且該級數在特定誤差範圍内逼近原函數。

數學表達式與核心特征

漸近展開通常表示為： $$ f(x) sim sum_{n=0}^infty a_n phi_n(x) quad (x to x_0) $$ 其中$phin(x)$為漸近序列，滿足$phi{n+1}(x)=o(phi_n(x))$。例如，斯特林公式（Stirling's formula）中，伽馬函數的漸近展開式為： $$ Gamma(z) sim z^{z}e^{-z}sqrt{frac{2pi}{z}}left(1+frac{1}{12z}+cdotsright) quad (|z|toinfty) $$

應用場景

物理學：量子力學中的微擾理論依賴漸近展開分析粒子散射行為。
工程學：流體力學邊界層問題通過漸近匹配法簡化計算。
計算機科學：算法複雜度分析中，大$O$符號的推導本質是漸近展開思想。

與收斂級數的區别

漸近展開不要求級數收斂，而是強調部分和與目标函數的誤差在極限條件下趨近于零。例如，指數積分函數$E_1(x)$的漸近展開在$xtoinfty$時發散，但有限項截斷仍能提供高精度近似值。

（注：因搜索結果未提供具體網頁，參考文獻示例為虛構學術來源，實際撰寫需替換為可驗證的權威出版物或數據庫鍊接。）

網絡擴展解釋

漸近展開（Asymptotic Expansion）是數學分析中用于描述函數在特定極限點（如自變量趨于無窮大或某一點）附近近似行為的工具。以下是詳細解釋：

1.基本定義

漸近展開被定義為一個函數級數（通常是柯西發散的），其部分和能在特定極限下為原函數提供有效的近似。設漸近序列${phi_n(z)}$在$z to z0$時滿足$phi{n+1}(z) = o(phin(z))$，則函數$f(z)$的漸近展開可表示為： $$ f(z) sim sum{n=0}^infty a_n phi_n(z) quad (z to z0), $$ 其中對任意正整數$N$，有： $$ f(z) = sum{n=0}^N a_n phi_n(z) + o(phi_N(z)). $$

2.與收斂級數的區别

收斂級數展開（如泰勒級數）：在某個區域内絕對收斂，能精确表示函數，例如幂級數、傅裡葉級數。
漸近展開：級數本身可能發散，但部分和在特定極限下能給出有效近似。例如，斯特林公式$n! sim sqrt{2pi n} (n/e)^n$是一個漸近展開，盡管級數發散，但在$n to infty$時近似效果極佳。

3.核心特點

局部有效性：僅在自變量趨近某一點（如$z to 0$或$z to infty$）時適用。
唯一性與系數計算：在給定漸近序列${phi_n(z)}$的條件下，展開系數$a_n$可通過遞推公式唯一确定。

4.應用領域

特殊函數分析：如伽馬函數、貝塞爾函數的漸進行為研究。
微分方程與積分方程：求解奇異攝動問題或邊界層問題。
物理與工程：用于量子力學、流體力學中的近似計算。

5.與“漸進”的語義區分

漸近（Asymptotic）：描述逐漸趨近某極限的過程，如“漸近展開”。
漸進（Gradual）：指逐步推進的變化，如“循序漸進”。

漸近展開通過發散級數提供了一種高效的近似方法，特别適用于傳統收斂級數無法處理的極限場景。其價值體現在對複雜函數行為的簡化描述中，廣泛應用于理論研究和工程計算。

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