贝齐尔三角英文解释翻译、贝齐尔三角的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Bezier ********

分词翻译：

贝的英语翻译：

seashell; shellfish
【医】 bel

齐的英语翻译：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【医】 trans-

尔的英语翻译：

like so; you

三角的英语翻译：

********; trigonometry
【医】 delta; ********; triangulum; trigone; trigonum

专业解析

贝齐尔三角（Bézier Triangle），是计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）中用于表示光滑曲面的重要数学工具。它是贝齐尔曲面在三角域上的推广形式，由法国工程师皮埃尔·贝齐尔（Pierre Bézier）在雷诺汽车公司工作时为汽车外形设计而发展起来。

核心概念：

数学基础：贝齐尔三角是一种参数化曲面。它使用一个三角网格的控制点（Control Points）和伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomials）来定义曲面上的每一个点。给定一个三角形域（通常使用重心坐标 u, v, w 表示，其中 u + v + w = 1 且 u, v, w ≥ 0），曲面上任意一点的位置 P(u, v, w) 由以下公式给出： $$ P(u, v, w) = sum{substack{i+j+k=ni,j,k geq 0}} B{ijk}^n(u, v, w) mathbf{P}{ijk} $$ $$ B{ijk}^n(u, v, w) = frac{n!}{i!j!k!} u^i v^j w^k $$ 其中：
- n 是贝齐尔三角的次数（Degree）。
- i, j, k 是非负整数，且满足 i + j + k = n。
- P_{ijk} 是三维空间中的控制点，构成一个三角阵列。
- B_{ijk}^n(u, v, w) 是定义在三角域上的三元伯恩斯坦基函数。
- u, v, w 是重心坐标参数，满足 u + v + w = 1。
控制点与形状：控制点 P_{ijk} 的集合构成了贝齐尔三角的控制网格（Control Net）。这个网格通常是一个三角剖分的网格。曲面本身并不一定通过所有内部控制点，但会插值（通过）边界控制点（即 i=0, j=0, 或 k=0 的点）。通过移动控制点，可以直观地调整曲面的形状。曲面被限制在控制点凸包（Convex Hull）的内部。
特性：
- 光滑性：能够生成非常光滑的曲面。
- 局部控制性：移动一个控制点主要影响其附近区域的曲面形状（影响范围取决于次数 n）。
- 凸包性：曲面完全位于其控制点凸包内部。
- 仿射不变性：对曲面进行仿射变换（如平移、旋转、缩放）等价于对其控制点进行相同的仿射变换。
- 变差缩减性：在特定条件下，曲面比其控制网格更“平缓”。

应用领域：贝齐尔三角及其更通用的形式（如B样条三角、NURBS三角）广泛应用于需要高质量自由曲面建模的领域：

计算机辅助设计（CAD）：汽车、飞机、船舶、消费电子产品的外形设计。
计算机图形学（CG）：电影、动画、游戏中的角色建模、场景物体建模。
几何建模：复杂形状的数学表示与处理。
有限元分析（FEA）：某些高阶单元的形状函数。

与贝齐尔曲面的关系：贝齐尔三角是贝齐尔曲面的一种特例。标准的贝齐尔曲面通常定义在矩形域（参数 u, v）上，使用张量积形式的控制点网格和二元伯恩斯坦基函数。而贝齐尔三角则定义在三角域（参数 u, v, w）上，使用三角阵列的控制点和三元伯恩斯坦基函数。两者都是参数多项式曲面，共享许多核心特性（如控制点影响、凸包性、仿射不变性），但拓扑结构和基函数不同。

权威参考来源：

书籍：
- Gerald Farin. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th Edition). Morgan Kaufmann. (标准CAGD教材，详细讲解贝齐尔曲线曲面及其三角形式)
- Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book (2nd Edition). Springer. (权威NURBS参考书，包含对贝齐尔形式的基础介绍)
学术文献/百科：
- “Bézier surface” Wikipedia Article. (概述贝齐尔曲面，提及三角域扩展)
- “Triangular Bézier surface” on MathWorld (Wolfram Research). (提供数学定义和公式)
专业组织：
- ACM SIGGRAPH (Association for Computing Machinery's Special Interest Group on Computer GRAPHics). (其会议和出版物是计算机图形学最新进展的权威来源，常涉及曲面建模)
- The Geometry Center (历史资源，曾提供基础教学材料). (其在线文档曾清晰解释贝齐尔三角概念)

网络扩展解释

关于“贝齐尔三角”的详细解释如下：

1. 定义与来源

术语翻译：贝齐尔三角的英文为Bezier triangle，是计算机图形学中的专业术语，属于贝塞尔曲线/曲面（Bézier curve/surface）的扩展形式。
命名背景：源自法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）提出的数学模型，用于描述平滑曲线和曲面。

2. 数学结构与特性

参数空间：与贝塞尔曲面（通常基于矩形参数域）不同，贝齐尔三角的参数域为三角形，控制点分布在三角形网格上。
数学表达：其公式可能涉及三角形域上的伯恩斯坦基函数（Bernstein basis），例如： $$ B(u,v,w) = sum{i+j+k=n} P{i,j,k} cdot frac{n!}{i!j!k!}u^i v^j w^k $$ 其中 (u+v+w=1)，(P_{i,j,k}) 为控制点。

3. 应用场景

三维建模：用于生成复杂且平滑的三维曲面，如汽车车身、动画角色建模等。
细分曲面：在计算机辅助设计（CAD）中，结合细分算法实现高精度表面生成。

4. 补充说明

由于搜索结果信息有限，具体实现细节（如控制点数量、插值方法）需参考计算机图形学专业文献。
若需深入技术细节，建议查阅《计算机图形学原理》或图形库（如OpenGL、DirectX）的官方文档。

以上内容综合了术语翻译和贝塞尔模型的基础知识，结合三角形参数域特性进行推断。